常微分方程在实际生活中的应用

目录序言··············································································（2）一、鉴别名画的真伪·························································（2）二、测定考古发掘物的年龄················································（6）三、在军事上的应用·························································（8）四、在社会经济中的应用·················································（13）五、应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定·······························（16）六、在人口增减规律中的应用···········································（17）结束语·········································································（18）参考文献······································································（19）1常微分方程在实际生活中的应用曹天岩（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用常微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程，从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得了显著的成效。常微分方程来自人类的社会实践，又是解决实际问题的一个最强有力的数学方法，在现实生活中，能用常微分方程研究的实际问题非常多，几乎在人类社会的每一个角落它都展示了无穷的威力，尤其是在工程技术、军事、经济、医学、生物、生态等领域它都发挥着极其重要的作用。所以研究常微分方程对人类社会生活有非常重要的意义和很实用的价值。本文介绍了利用常微分方程的知识和放射性物质可以衰变的特性来鉴别名画的真伪。利用放射现象测定考古发掘物的年龄，利用常微分方程了解深水炸弹在水下的运动，也就是其在军事上的应用，利用常微分方程对社会经济进行分析研究，利用牛顿冷却定律和常微分方程的知识对刑事侦察中死亡时间的鉴定，以及常微分方程在人口增减规律中的应用等几部分内容。关键词：常微分方程应用解.ApplicationofordinarydifferentialequationinactuallifeCaoTianyan(DepartmentofMathsmaticBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000China)Abstract：Agreatdealofmathematicsmodelsinscience,technique,engineeringofthesummarymodernallcanuseadifferentialcalculusasquaredistancetooftendescribe,thebasicandsquaredistanceofalotofmodernnaturalsciencesisadifferentialcalculussquaredistance,fromthecalculustheoriesformation,peoplehadbeenuseasquaredistanceofdifferentialcalculustodescribe,explainorforeseevariousnaturalphenomena,obtainingtoshowtheresultoftheconstantly.Oftendifferentialcalculusthesquaredistancecomefromthemankind'ssocialfulfillment,isthemostpowerfulmathematicsmethodthatresolvesanactualproblemagain,canuseadifferentialcalculusasquaredistancetooftenstudyintherealisticlifeoftheactualproblemisquiteafew,almostatmankindeachcornerofthesocietydisplayendlessofpowerisintherealms,suchasengineeringtechnique,military,economy,medicalscience,livingcreatureandecosystem...etc.particularlyitdevelopsaveryandimportantfunction.Soresearchoftendifferentialcalculusthesquaredistancehavecountformuchmeaningtomankind'ssocialactivitieswiththeverypracticalvalue.Thistextintroducedtomakeuseofdifferentialcalculusoftentheknowledgeandtheradiomaterialofthesquaredistancecanbechangewithofcharacteristictodiscriminateapaintingoftruefalse.Makeuseofemanationthephenomenonmeasurementtostudyofancientrelicsageofdiscoverthething,makeuseofadifferentialcalculusasquaredistanceunderstandingoftendeeplythewaterbombatunderwaterofsportbealsoittoapplymilitarily,makeuseofoftendifferentialcalculusthesquaredistanceistothesocialeconomycarryonanalysisresearch,makeuseofNewtontocoolofflawsandoftendifferentialcalculusthepertainingtocrimefortheknowledgeofthesquaredistanceisonthescouttodietimeofauthenticate,andoftendifferentialcalculusthesquaredistanceisinthepopulationincreaseordecreasetheapplicationintheregulationtowaitseveralpartsofcontentses.KeyWords:Ordinarydifferentialequationapplicationsolution2引言常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从实际中产生，而又成为实际生活与现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。一鉴别名画的真伪我们可以利用常微分方程的知识和放射性物质可以衰变的特性来鉴别名画的真伪。某些“放射性”元素的原子是不稳定的，在一个给定的时期内，一定比例的原子会自动地衰变，形成新元素的原子。放射性是原子的一个特性。一种物质的放射性与现存的物质的原子数成正比。用)(tN表示t时刻存在的原子数，则单位时间内衰变的原子数与N成比例，即NdtdN（1）正的常数叫做物质的衰变常数。自然越大，物质衰变得越快。我们可根据来计算物质的半衰期（一定数量的放射性原子衰变到一半时所需要的时间）。假设在0t时刻。00)(TtN，则初值问题：NdtdN00)(NtN其解是：)(00)(tteNtN两边取对数，得00ln)(NNtt（2）如果210NN，则21ln)(0tt，3即6931.02ln0tt（3）所以一种物质的半衰期为2ln除以衰变常数。许多物质的半衰期都已经被测定并有记录。例如：碳-14的半衰期为5568年，铀-238的半衰期是45亿年。由（2）可解得：NNtt00ln1如果0t为某种物质最初形成或制造出的时间，则该物质的年代就是0ln1NN。在大多数情况下，衰变常数是已知或算出的。此外，通常很容易得出N，这样，如果知道0N我们就能确定该物质的年代，但这正是实际的困难所在，因为通常我们并不知道0N，不过在某些情况下，我们可以间接的确定0N，或确定0N的某一个适当的范围。我们从初等化学的众所周知的知识开始。地壳中的所有岩石几乎都含有少量的铀。岩石中的铀衰变成一种其它的元素，而这种元素又衰变成另一种元素，如此衰变下去，形成一个元素序列，直到铅（参看图1）就不再衰变了。铀（半衰期超过40亿年）不断地补充序列中的后续元素，所以，这些后面的元素替代的速度与他们衰变的速度同样快。图1铀系列（箭头上的时间表示每一步的半衰期）所有的绘画都含有少量的放射性元素铅-210和更少的镭-226。这两铀-238钍-230铀-234镤-234钍-234铋-214镭-226氢-222镤-218铅-214镤-214铅-206镤-210铋-210铅-21045241.225亿年天分钟万年2733.81600不到225138分钟分钟天年一秒年天天8万年不放射20分钟4种元素都存在于白铅（铅的氧化物）中，画家们用白铅作颜料已经有2000多年了。为了后面的分析，请注意下面事实，白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿石中提炼出来的。在这个过程中，矿石中的铅-210随铅金属被提取出来。不过90%到95%的镭以及它的派生物都随着炉渣中的废物被排出来了。所以大多数铅-210的提供物都被排掉了，而铅-210开始迅速的衰变，其半衰期为22年。这个衰变过程一直持续到白铅中的铅-210再次与现存的少量的镭达到放射平衡，即铅-210的衰变恰好被镭的衰变所平衡。那么我们可以利用这个结论计算要鉴别的画中现存的铅-210的数量，计算是基于最初生产时铅-210的数量。设)(ty为t时刻每克白铅中铅-210的数量，0y为最初生产时0t每克白铅中存在的铅-210的数量，而)(tr为t时刻每分钟每克白铅中镭-226的衰变数。如果是铅-210的衰变常数，则)(trydtdy，00)(yty因为我们只对最多300年这一时间段感兴趣，所以可设镭-226保持常数（其半衰期为1600年），故)(tr是一个常数r。用积分因子tetu)(乘微分方程的两端，得ttredtyed)(因此)()(000tttteeryetye（5）现在)(ty和r很容易测得。于是我们知道0y，我们就可以利用（5）来计算0tt，因而，我们就能确定画的年代。正如我们已经指出的，虽然我5们不能直接测得0y，但有一种可能的办法，它能帮助我们避开这个问题。这个办法就是利用这样的事实：铅-210的初始量是与用来提取铅金属的矿石中的大量的镭-226处于放射性平衡状态的。所以，我们取不同的矿石样品，计算镭-226的衰变率。对各种矿石进行计算，结果见表2。这些数字从0.18变化到140。因而，生产时每分钟每克铅-210的衰变数将在0.18到140之间变动。因为铅-210的衰变数是与当时的量成比例的，这意味着0y也将在一个大区间中变化。图2矿石和精矿样品种类及来源126Ra的衰变/min精矿（Oklahoma-kansas）压碎的粗碎石（S.E.Missouri）精矿（S.E.Missouri）精矿（Idaho）精矿（Idaho）