70利用导数判断函数的单调性

1.3.1利用导数判断函数的单调性高二数学复习引入：一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有问题1：函数单调性的定义怎样描述的?(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2.研究函数的单调区间有哪些方法?（1）图像法:观察图象的变化趋势;（2）定义法:3.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法X=24.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?(2)能用单调性的定义吗?1.借助于函数的图像了解函数的单调性与导数的关系；2.会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间。学习目标引入新课Abat0Oht竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h=h(t)，其图象如图所示。先考察沙袋在区间(a，t0)的运动情况：在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，即在区间(a，t0)，0lim'()0thhtt我们知道在此区间内，函数h=h(t)是增函数.Abat0Oht再考察沙袋在区间(t0，b)的运动情况：在这个区间内，沙袋向下运动，其竖直向上的瞬时速度小于0，即在区间(t0，b)，0lim'()0thhtt在此区间内，函数h=h(t)是减函数。用函数的导数判断函数单调性的法则：1．如果在区间(a，b)内，f'(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2．如果在区间(a，b)内，f'(x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则；当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈上升状态；当切线斜率为负时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈下降状态.Oyx2yx0.......我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则；当切线斜率为负时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈下降状态.当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈上升状态；例1．确定函数y=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：y＇=(x2－2x+4)＇=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴函数在区间(1，+∞)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴函数在区间(－∞，1)是减函数.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数f´(x)3.解不等式f´(x)0,得函数单增区间;解不等式f´(x)0,得函数单减区间.注意：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“”连接而只能用“逗号”或“和”字隔开．练习：找出函数f(x)=x3－4x2+x－1的单调区间。解：f＇(x)=3x2－8x+1，令3x2－8x+10，解此不等式得4133x或4133x因此，区间413413(,)(,)33和为f(x)的单调增区间；令3x2－8x+10，解此不等式得41341333x因此，区间为f(x)的单调减区间。413413(,)33(1)函数的单调性与导数的关系;这节课学到了什么？①确定函数y=f(x)的定义域（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）;②求导数f´(x);③得结论:f´(x)0且在定义域内的为增区间;f´(x)0且在定义域内的为减区间．在区间(a，b)内，f'(x)0，则f(x)在此区间是增函数，f'(x)0，则f(x)在此区间是减函数(2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤:测试题1．函数y=3x－x3的单调增区间是()(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)C2．设f(x)=x＋(x0)，则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)(－，0)2x22C3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数(D)在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数1e1e1e1eC4．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是.(－2，0)(－∞，－2)和(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调区间是.(kπ,kπ+),k∈Z2讨论函数f(x)＝x＋ax的单调性．作业：