D4-2[2]第二类换元积分法

1CxxcotcsclnCaxaarctan1CxcoslnCxsinlnCxxtanseclnCaxaxaln211.复习基本积分公式tandxxcotdxx221dxxa221dxaxcscdxxsecdxx221dxaxCaxarcsin一位名人说过:如果你解不出某道题,那肯定是有一个更容易的问题你尚未解决---找到他,哦,是没记住公式！(已学20个公式)2(1)直接积分法：通过恒等变形,利用线性性把所给积分变成公式中有的形式，求出积分的方法.2.复习积分方法：(2)第一类换元法(凑微分法)第一类换元法解决的问题难求易求[()]d()fxx()dfuu()ux若所求积分[()]()dfxxx易求,则得第二类换元积分法.难求，()dfuu()[()]()d[()d]uxfxxxfuu3()FxC()[()]()tftt定理2.设是单调可导函数,且()0,t具有原函数,1()()d[()]()dtxfxxfttt1()().txxt其中是的反函数证:[()]()ftt设的原函数为(),t1()[()]Fxx令则()Fxddtddtx[()]()ftt1()t()fx()dfxx1[()]xC1()[()]()dtxfttt则有换元公式二、第二类换元法11(())[()[()]()d]txtxtCfttt则1[()]xC4第二类换元积分公式1()()d[()]()dtxfxxfttt(易积)()FtC.)]([1CxF其中：1()().txxt是的反函数()dfxx()xt令[]()()dtft[()]()dfttt)(1xt回代如何用这个公式？如何找(?)xt靠经验！单调可导,且()0,t5例1.求22d(0).axxa解:令22sin,(,),xatt则22222sinaxaatcos,atdcosdxatt∴原式cosatcosdatt22cosdatt2aCsin224ttax22axtarcsinxa2212xaxC22asin22sincosttt2xa22axa21cos2d2tatsinxta622221dln[].xxxaCxa例2.求解:22tan,(,),xatt令则22222tanxaatasecat，2dsecdxatt∴原式2secatsecatdtsecdtt1lnsectanttCax22xatln22xaa1(ln)CCaxa1C221tansectt7例3.求解:324d.xxx2sinxt令，d2cosdxtt则(,)22t324dxxx322sin44sin2cosdtttt3232sincosdttt2232sin(1cos)cosdtttt2432(coscos)d(cos)ttt351132(coscos)35ttCt2x24x232541(4)(4).35xxC8例4.求解:,xa当时令π2sec,(0,),xatt则22222secxaatatanatdxsectandattt∴原式dtsectanatttanatsecdtt1lnsectanttC22xat221ln+xxaCaa1(ln)CCa221tansectt922221dln.xxxaCxa,xa当时令,xu,ua则于是22dxxa22duua221lnuuaC221lnxxaC2122lnaCxxa1(2ln)CCa10说明:以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22(1)ax可令sin;xat22(2)ax可令tan;xat22(3)xa可令sec.xat注意:应灵活运用三角代换.以上规律并不是绝对的.如：21.1dxxx12221(1)d()2xx12221(1)d(1)2xx1122d2.(0)xaaxarcsinxCa)()(112axaxd22d3.(1)xx解:令tanxt，t1x21x11(sin2)22ttC1(arctan2x2dsecdxtt),2,0(t原式=241secdsecttt2cosdtt1(1cos2)d2tt21221xx211xC)12说明:当分母的次数较高时,可采用倒代换1.xt例5.求71d(2)xxx1xt令21dd,xtt71d(2)xxx721d12tttt67d12tttCt|21|ln1417.||ln21|2|ln1417Cxx解:7711d()712tt13说明:.nbaxtnbax当被积函数含有时，为去根号，常令例6.求.d1xxx解:令1xu21xu1xudx=2udu,uuuud212xxxd1uuud1222uud)111(22Cuu)arctan(2.)1arctan1(2Cxx14注：当被积函数含有两种或两种以上的根式时,可采用令(其中为各根指数的最小公倍数)lkxx,,nxtn22116d1ttt2161d1ttCtt]arctan[6.]arctan[666Cxx例7.求31d.(1)xxx解:令6tx5d6d,xtt31d(1)xxx5326d(1)tttt226d1ttt15例8.求11d.xxxx解:令txx1,12txx,112tx222dd,1ttxt2222(1)d(1)ttttt22d21ttt2121d1tt12ln1ttCt原式.naxbtcxdnaxbcxd当被积函数含有时，为去根号，常令注意：16例9.求解:1d.1xxexet1令,12tex22dd,1txtt1d1xxe22d1ttCtt11ln.11ln2Cxex,1ln2txCxxa11ln21221dtxa说明:第二类换元法应用范围较广,并不局限以上这些,在求不定积分时,若遇到“障碍”,就可用换元法，令“障碍物”=t17211dxxe解法：21xet21ln(1)2xt2112d21tttt21d1ttarctantC观察不同方法所得的结果.例10.2d1xxeearcsinxeC212dxxe解法：2arctan1.xeC18第一类换元法第二类换元法(代换:)()xt1.两类换元法(统称为换元积分法)：小结:2.基本积分公式：（24个）①幂2个②指2个③三角10个④有理式4个⑤无理式4个ddKxxx，ddxxexax，sindcosdxxxx，，22secdcscdxxxx，，sectandxxx，csccotd,xxx2dd,1xxxx，22211d1,,dxaxxx⑥双曲2个(不要求记)secdcscd.xxxx，tandcotd,xxxx，2222dd.xxaxxa221d.xxa193.第二类换元法常见类型:1)(,)d,nnfxaxbxtaxb令2)(,)d,axbaxbnncxdcxdfxxt令223)(,)d,sincosfxaxxxatxat令或224)(,)d,tanfxaxxxat令225)(,)d,secfxxaxxat令7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换6)()d,xxfaxta令201.已知求解:两边求导,得则1()tx令思考与练习2221d()21ttt(1)1(代回原变量)2105年的考研题解1:原式22d(2)12.xxxx1tu21tud2dtuu2221d()2(2)1xxx1d2(2)1ttt2tx212d2(1+)uuuu解2:令sin,xt22211sincos,xttdcosdxtt22sintcostd(2sin)1sinttt原式2sintd2sintt2d(cos)1costtarctan(cos)tC2arctan1xC2221(1)d23xxx求21(2)d49xx求21(3)d1xxx求练习:21d(1)2xx2(2)d(1)x11arctan22xC221d(2)2(2)3xx21ln2492xxC22d()()()12x5212x21arcsin5xC作业:P208T2(35)-(40);(42);(44)2211darctanuuCauaa22221dln[].uuuaCua221darcsin.uuCaau