(公开课)定积分在几何中的应用_

定积分在几何中的应用——利用定积分求面积（一）(2)xyoabc)(xfy(3)(1)xyo)(xfyab类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积SbccadxxfdxxfssS)()()3(211.几种典型的平面图形面积的计算：一、新课讲解badxxfS)()1(badxxfS)()2(s1s2思考上述图形变换成右侧所示的曲边梯形，面积应该如何表示？积分变量就由x转变为y,此时，被积函数y=f(x)就要转化为x=f（y)badyyfS)()1(badyyfS)()2((2)(1)xyo)(xfyabaxyoabxyby=f(x))(xfy)(yfx)(yfx类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x),和直线所围成平面图形的面积SbababadxxgxfdxxgdxxfssS)]()([)()()2(21bababadxxgxfdxxgdxxfS)]()([)()()1(abxyy=f(x)obaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。oabxyy=g(x)xdxgba)(+yxoba)(xfy)(xgy(2))(xfy)(xgy(1)s1s2xyOabABCDy=f(x)y=g(x)bababadyygyfdyygdyyfS)]()([)()()3(例1.计算由两条抛物线xy2和2xy围成图形的面积.例题讲解2xyyxABCDO解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:11002yxyxxyxy或解方程组即两曲线的交点为(0,0),(1,1)边边曲梯形OABC曲梯形OABDS=S-S11200xdxxdx120S=(x-x)dx323102()|33xx.31(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)（3）写出平面图形面积的定积分表达式；2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积的值。研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解由y＝x2－4y＝－x＋2得x＝－3y＝5或x＝2y＝0，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝ʃ2－3(－x＋2)dx－ʃ2－3(x2－4)dx＝(2x－12x2)|2－3－(13x3－4x)|2－3＝252－(－253)＝1256.（-3,5）（2,0）研一研·问题探究、课堂更高效答求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢探究点三分割型图形面积的求解？问题例2.计算由曲线直线y=x-4以及x轴围成图形的面积.xy2解:作出y=x-4,的图象如图所示:2yx解方程组：42xyxy得：直线y=x-4与交点为(8，4)2yx因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一个三角形面积之差：dxxdxxS8480)4(2本题还有其他解法吗？xy2y=x-4（8,4）340解法二采用分割的方法dyydyyS402402)4(只需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数变形为2yx22yx2yx4xy])4(2[284844021dxxdxxdxxSSS340442132232248042323xx解法三（变换积分变量）：340例2.计算由曲线直线y=x-4以及x轴围成图形的面积.xy2S1S233228220242221166426|(4)|18332333xxxx280222(24)xdxxxdxAB解法1：281202222(24)SSSxdxxxdx思考：计算由曲线直线y=x-4以及x轴围成图形的面积.xy22采用分割的方法xy22y=x-4S2S1S1AB解法2：dyyS422]2y)4[(18思考：计算由曲线直线y=x-4以及x轴围成图形的面积.xy22则y2=2x就变换为22yxy=x-4就变化为x=y+4（变换积分变量）1.思想方法:数形结合及转化.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)(3)写出平面图形面积的定积分表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。课堂小结练习1.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。yx解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：所以：112212)1()1(dxxdxxS课堂练习38)3()3(113123xxxx212102)23()32(dxxxdxxxS12330123)2323()2323(xxxxxx练习2.求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所围成的图形的面积。解：xy(1,3)(2,6)16165本节内容结束谢谢大家！！课后思考