2014届高考数学一轮复习 第19讲《同角三角函数的基本关系与诱导公式》热点针对课件 理

第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．(改编)已知sinαcosα＝38，πα3π2，则sinα＋cosα的值为.解析：因为πα3π2，所以sinα＜0，cosα＜0，所以sinα＋cosα＝－sinα＋cosα2＝－1＋2sinαcosα＝－1＋34＝－72.2．(2012·金华十校期末)已知tanα＝2，则6sinα＋cosα3sinα－2cosα＝.解析：将原式分子、分母同时除以cosα，得原式＝6tanα＋13tanα－2＝134.3．(原创)sin(－2014π3)的值是()A.12B．－12C.32D．－32C解析：sin(－2014π3)＝－sin(670π＋4π3)＝－sin(π＋π3)＝sinπ3＝32.4．(2012·河南省驻马店市5月)已知cos(π＋x)＝35，x∈(π，2π)，则sinx等于()A．－35B．－45C.35D.45B解析：由cos(π＋x)＝35，得cosx＝－35，又因为x∈(π，2π)，所以sinx＝－1－cos2x＝－45.一诱导公式的应用【例1】(改编)(1)sin29π6＋cos(－29π3)＋tan(－25π4)＝__________；(2)已知f(α)＝sin3π2－αtanπ＋αtanπ－α，则f(－31π3)的值为()A．－12B.12C.32D．－32解析：(1)原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(10π－π3)－tan(6π＋π4)＝sin5π6＋cosπ3－tanπ4＝0.(2)f(α)＝sin3π2－αtanπ＋αtanπ－α＝－cosαtanα－tanα＝cosα，所以f(－31π3)＝cos(－31π3)＝cos31π3＝cos(10π＋π3)＝cosπ3＝12.【拓展演练1】已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解析：cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．因为cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角，所以角75°＋α为第三或四象限角．所以sin(75°＋α)＝－1－cos275°＋α＝－1－132＝－223，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.二利用同角公式进行弦切转化【例2】(1)(改编)化简：(tanx＋1tanx)·1tan2x＋1等于()A．tanxB．sinxC．cosxD.1tanx(2)如果f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx，那么f(5)＝________.解析：(1)(sinxcosx＋cosxsinx)·1sin2xcos2x＋1＝sin2x＋cos2xsinxcosx·cos2xsin2x＋cos2x＝1tanx，故选D.(2)f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx＝sin2x－5sinxcosxsin2x＋cos2x＝tan2x－5tanxtan2x＋1，所以f(5)＝52－5×552＋1＝0.【拓展演练2】已知tanαtanα－1＝－1，求sin2α＋sinαcosα＋2的值．解析：由tanαtanα－1＝－1，得tanα＝12，所以sin2α＋sinαcosα＋2＝3sin2α＋sinαcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tanα＋2tan2α＋1＝3×122＋12＋2122＋1＝135.三公式sin2α＋cos2α＝1的巧用【例3】已知sinθ－cosθ＝12，求：(1)sinθcosθ；(2)sin3θ－cos3θ；(3)sin4θ＋cos4θ.解析：(1)sinθ－cosθ＝12，平方得1－2sinθcosθ＝14，sinθcosθ＝38.(2)sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝12(1＋38)＝1116.(3)sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×964＝2332.【拓展演练3】(1)已知cosx－sinx＝1，求(cos2013x＋sin2013x)2；(2)证明：1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝32.分析：遇到条件cosx－sinx＝1，可运用平方法，求得sinxcosx，代入求解．解析：(1)由cosx－sinx＝1，可得1－2sinxcosx＝1，则sinxcosx＝0，即sinx＝0或cosx＝0.当sinx＝0时，cosx＝1＋sinx＝1，得(cos2013x＋sin2013x)2＝1；当cosx＝0时，sinx＝cosx－1＝－1，得(cos2013x＋sin2013x)2＝1.综上可知，(cos2013x＋sin2013x)2＝1.(2)证明：因为sin2x＋cos2x＝1，所以1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2，1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝sin2x＋cos2x3－sin6x－cos6xsin2x＋cos2x2－sin4x－cos4x＝3sin4xcos2x＋3cos4xsin2x2sin2xcos2x＝3sin2x＋cos2x2＝32.1.(2013·广东卷)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25C解析：sin(5π2＋α)＝sin(π2＋α)＝cosα＝15，故选C.2.(2012·辽宁卷)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1A解析：由sinα－cosα＝2，得1－2sinαcosα＝2，所以sinαcosα＝－12，所以sinαcosαsin2α＋cos2α＝－12，所以tanαtan2α＋1＝－12，所以tanα＝－1.3.(2013·全国新课标卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sinθ＋cosθ＝.解析：(方法一)因为tan(θ＋π4)＝12，即tanθ＋11－tanθ＝12.所以tanθ＝－13，所以cosθ＝－3sinθ，①又sin2θ＋cos2θ＝1，②且θ是第二象限角，③由①②③得sinθ＝1010，cosθ＝－31010，所以sinθ＋cosθ＝－105.(方法二)由tan(θ＋π4)＝12，得tanθ＝－13，所以cos2θ＝cosθsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝910.又θ是第二象限角，所以cosθ＝－31010，sinθ＝21010，所以sinθ＋cosθ＝－105.4.(2012·山东卷)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.34D解析：(方法一)因为θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，所以cos2θ＝－1－3782＝1－2sin2θ，解之得sinθ＝34.(方法二)联立2sinθcosθ＝378sin2θ＋cos2θ＝1，解之得sinθ＝34.