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第22讲三角函数的图象1．(2012·河南省豫北六校第三次精英联考)函数y＝xsin(π2－x)在坐标原点附近的图象可能是()A解析：因为y＝xcosx，所以函数是奇函数，且x＝π2时，函数值为0，在(0，π2)上时函数值大于0，故选A.2．(改编)函数f(x)＝sin(x－π4)的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2C解析：令x－π4＝π2＋kπ(k∈Z)，则x＝3π4＋kπ(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－π4.3．函数f(x)＝2cos(2x－π3)的图象的对称中心是.解析：由cos(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，所以x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，所以其图象的对称中心是(kπ2＋5π12，0)(k∈Z)．4．(2013·宁德市模拟)为了得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝sin(2x＋π6)的图象()A．向右平移π6个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π12个单位D．向左平移π12个单位C解析：因为y＝sin(2x＋π6)＝sin2(x＋π12)，所以向右平移π12个单位，故选C.B5．(2012·仙桃市五月高考仿真模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0,0φπ)的图象如图所示，则ω等于()A.13B.23C．1D．2解析：由图可知T2＝15π8－3π8＝3π2，所以T＝3π，所以ω＝2πT＝23，故选B.一三角函数图象的画法及变换【例1】已知函数y＝3sinx2＋cosx2(x∈R)．(1)用“五点法”画出它的图象；(2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到？解析：(1)y＝2sin(x2＋π6)，令X＝x2＋π6，列表如下：描点画图：(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为π6.(3)将y＝sinx图象上各点向左平移π6个单位，得到y＝sin(x＋π6)的图象，再把y＝sin(x＋π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin(x2＋π6)的图象，最后把y＝sin(x2＋π6)的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y＝2sin(x2＋π6)的图象．【拓展演练1】若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上恰有两个不同实数解，求a的范围．解析：因为3sinx＋cosx＝a，所以a＝2sin(x＋π6)，其中x∈[0,2π]．画出函数f(x)＝2sin(x＋π6)，x∈[0,2π]的图象．由已知函数y＝3sinx＋cosx在[0,2π]上的图象与直线y＝a有两个交点，结合图象易得a的范围为(－2,1)∪(1,2)．二三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)在一个周期内的图象如图所示，求此函数的解析式．解析：由图易得A＝2，因为相邻的两个最大，最小值点的横坐标相差半个周期，所以周期T＝2(4π9－π9)＝2π3，所以ω＝2πT＝3，所以解析式为y＝2sin(3x＋φ)．将(π9，2)代入，得2sin(3×π9＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝2kπ＋π6，k∈Z.因为|φ|π2，所以φ＝π6，所以解析式为y＝2sin(3x＋π6)．【拓展演练2】函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的图象如图所示，求函数的解析式．解析：由图易求得A＝12(4－0)＝2，b＝12(4＋0)＝2，从而x＝－2到x＝2是函数y＝A(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以12×2πω＝2－(－2)，解得ω＝π4，所以y＝2sin(π4x＋φ)＋2，下面求φ.由题图知，当x＝－2时，y＝4，即2sin[π4×(－2)＋φ]＋2＝4，所以－π2＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，取k＝0，得φ＝π，所以y＝2sin(π4x＋π)＋2.三三角函数图象的对称性【例3】(1)(2012·河北省唐山市高三第二次模拟)把函数y＝sin(2x－π6)的图象向左平移π6个单位后，所得函数图象的一条对称轴为()A．x＝0B．x＝π6C．x＝－π12D．x＝π2.(2)(改编)函数y＝sinxcosx＋3cos2x的图象的一个对称中心是()A．(π3，－32)B．(2π3，－32)C．(2π3，32)D．(π3，32)解析：(1)函数y＝sin(2x－π6)的图象向左平移π6个单位后，所得函数y＝sin[2(x＋π6)－π6]，即y＝sin(2x＋π6)，由2x＋π6＝kπ＋π2，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，取k＝0，得函数的一条对称轴为x＝π6，故选B.(2)y＝sinxcosx＋3cos2x＝12sin2x＋3·1＋cos2x2＝sin(2x＋π3)＋32，由2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2－π6(k∈Z)，当k＝1时，图象的一个对称中心为(π3，32)，故选D.【拓展演练3】(1)设f(x)＝sin(2x＋π4)＋cos(2x＋π4)，则函数f(x)的()A．图象关于直线x＝π8对称B．图象关于直线x＝π4对称C．图象关于直线x＝π2对称D．图象关于直线x＝3π4对称(2)(2012·湖南省株洲市第一次模拟)设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则()A．f(x)的图象过点(0，12)B．f(x)在[π12，2π3]上是减函数C．f(x)的一个对称中心是(5π12，0)D．将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sinωx的图象．解析：(1)f(x)＝2sin(2x＋π4＋π4)＝2cos2x，函数在对称轴处取得最大值或者最小值，代入易得答案C正确．(2)由题知，ω＝2ππ＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)，又函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的图象关于直线x＝2π3对称，所以2×2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，所以φ＝π6，所以f(x)＝3sin(2x＋π6)，所以f(5π12)＝0，所以(5π12，0)是函数f(x)的一个对称中心，故选C.1.(2012·浙江卷)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()A解析：把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝cos2(12x)＋1＝cosx＋1的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数y＝cos(x＋1)＋1的图象；再向下平移1个单位长度得到函数y＝cos(x＋1)＋1－1＝cos(x＋1)的图象；结合各选项中的图象可知其图象为选项A中的图象，故选A.2.(2013·山东卷)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C．0D．－π4B解析：得到的偶函数的解析式为y＝sin[2(x＋π8)＋φ]＝sin[2x＋(π4＋φ)]，显然，φ＝π4满足要求．3.(2013·四川卷)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3A解析：由图可知，T＝43×(5π12＋π3)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为f(x)＝2sin(2x＋φ)过点(5π12，2)，所以2sin(5π6＋φ)＝2，又－π2φπ2，所以5π6＋φ＝π2，所以φ＝－π3.4.(2011·全国新课标卷)函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．8D解析：y＝11－x的对称中心(1,0)也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，－2≤x≤4，他们的图象在x＝1的左侧有4个交点，则x＝1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，故选D.5.(2011·辽宁卷)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y＝f(x)的部分图象如图，则f(π24)＝.解析：由图象知πω＝2×(3π8－π8)＝π2，解得ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4.此时f(x)＝Atan(2x＋π4)．又图象过点(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan(2x＋π4)．所以f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝3.