(公开课)概率的基本性质

据说有个人很怕坐飞机．说是飞机上有恐怖分子放炸弹．他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之一．百万分之一虽然很小，但还没小到可以忽略不计的程度.买彩票中一等奖的概率比这个还小,不照样有人中奖吗?他不希望自己在飞机上“中奖”，所以他从来不坐飞机．可是有一天他的一位朋友在机场看见他，感到很奇怪．就问他，你不是说飞机上可能有炸弹很不安全吗？他说我有问过专家，每架飞机上有一颗炸弹的可能性是百万分之一，但每架飞机上同时有两颗炸弹的可能性只有百万的平方分之一，也就是说只有万亿分之一，这已经小到可以忽略不计了.他的朋友说这数字没错，但这与你今天坐飞机有什么关系？他很得意的说：当然有关系啦，不是说同时有两颗炸弹的可能性很小吗，我现在自带一颗．如果飞机上另外再有一颗炸弹的话，这架飞机上就同时有两颗炸弹．而我们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心地去坐飞机了.比如在掷骰子这个试验中：“出现的点数小于或等于3”这个事件中包含了哪些结果呢？①“出现的点数为1”②“出现的点数为2”③“出现的点数为3”这三个结果一.引入今天我们来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来研究一下事件之间有什么关系。你能写出在掷骰子的试验中出现的其它事件吗？14:07:054必须分析每个试验所包含的基本结果，从而分析每个事件包含的结果C1={出现1点}；C2={出现2点}；C3={出现3点}；C4={出现4点}；C5={出现5点}；C6={出现6点}；1.上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？D1={出现的点数不大于1}；D2={出现的点数大于3}；D3={出现的点数小于5}；E={出现的点数小于7};F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数};H={出现的点数为奇数};……2.若事件C1发生，则还有哪些事件也一定会发生？反过来可以吗？3.上述事件中，哪些事件发生会使得K={出现1点或5点}也发生？6.在掷骰子实验中事件G和事件H是否一定有一个会发生？5.若只掷一次骰子，则事件C1和事件C2有可能同时发生么？4.上述事件中，哪些事件发生当且仅当事件D2且事件D3同时发生?)BAAB（或（一）事件的关系和运算：BA如图：例.事件C1={出现1点}发生，则事件H={出现的点数为奇数}也一定会发生，所以1HC注：不可能事件记作，任何事件都包括不可能事件。（1）包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作二.概念14:07:056（2）相等关系BA如图：例.事件C1={出现1点}发生，则事件D1={出现的点数不大于1}就一定会发生，反过来也一样，所以C1=D1。BAAB且一般地，对事件A与事件B，若，那么称事件A与事件B相等，记作A=B。14:07:057（3）并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作。ABAB（）或BA如图：AB例.若事件K={出现1点或5点}发生，则事件C1={出现1点}与事件C5={出现5点}中至少有一个会发生，则15KCC14:07:058（4）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）记作ABAB（）或BA如图：BA14:07:059例.若事件C4={出现4点}发生，则事件C2={出现点数大于3}与事件C3={出现点数小于5}同时发生，则324DDC（5）互斥事件若为不可能事件（），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生。ABABAB如图：例.因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点}不可能同时发生，故这两个事件互斥。14:07:0510（6）互为对立事件若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。记作ABABAB如图：例.事件G={出现的点数为偶数}与事件H={出现的点数为奇数}即为互为对立事件。,ABBA14:07:0511①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言。②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生，因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件。③从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这几个事件所包含的结果组成的集合的交集为空集；而事件A的对立事件A所包含的结果组成的集合是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集。14:07:05判断互斥、对立事件：1、交集是否为空集（互斥事件）2、是否互为补集（对立事件）例1：判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。从40张扑克牌（红桃，黑桃，方块，梅花点数从1-10各10张）中，任取一张。（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。是互斥事件，不是对立事件既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件，也不是对立事件14:07:05142、一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.3、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，是对立事件的为()①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．②14:07:05162.概率的几个基本性质:(1)任何事件的概率在0~1之间,即0≤P(A)≤1(2)必然事件的概率为1,即P(Ω)=1(3)不可能事件的概率为0,即()0P(4)如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)(5)如果事件B与事件A是互为对立事件,则P(B)=1-P(A)练习某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率是0.24，0.28，0.19，0.16，计算这名射手射击一次（1）射中10环或9环的概率；（2）至少射中7环的概率。（1）P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52。（2）因为它们是互斥事件，所以至少射中7环的概率是0.24+0.28+0.19+0.16=0.8714:07:0518少于7环的概率呢？例3甲，乙两人下棋，和棋的概率为1/2，乙获胜的概率为1/3，求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。分析：甲乙两人下棋，其结果有甲胜，和棋，乙胜三种，它们是互斥事件。解（1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲获胜的概率是P=1-1/2-1/3=1/6。（2）解法1，“甲不输”看作是“甲胜”，“和棋”这两个事件的并事件所以P=1/6+1/2=2/3。解法2，“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，P=1-1/3=2/3。14:07:0519练习：抛掷一均匀的色子，事件A表示“朝上的一面是奇数”，事件B表示“朝上的一面是不超过3的数”，求P(AB)14:07:0520练习：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为1/3，得到黑球或黄球的概率是5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=5/12;P(C∪D)=P(C)+P(D)=5/12;P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-1/3=2/3;解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4.答:得到黑球、黄球、绿球的概率分别是1/4,1/6,1/4.14:07:05211、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件事件关系1.包含关系2.等价关系事件运算3.事件的并(或和)4.事件的交(或积)5.事件的互斥(或互不相容)6.对立事件(逆事件)14:07:06222.概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1-P(B)；14:07:0623