2014届高考数学一轮复习精品课件：9.5 直线与圆的综合应用

一轮复习讲义直线与圆的综合应用1．解析几何的基本方法是坐标法，通过数形结合实现代数与几何的融合．2．直线与圆相结合常涉及代数中解方程、不等式，求函数最值等．在解直线与圆的问题时，要善于灵活运用图形性质、方程观点综合考察．3．注意运用代数式的几何意义，如出现f(x)－mx－n的形式可以想到斜率；出现(m－x0)2＋(n－y0)2想到可转化为距离；而mx＋ny，(x－x0)2＋(y－y0)2的结构，可通过整体代换：mx＋ny＝t，(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2可转化为直线、圆的相关问题．忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1．直线与圆的最值问题解题思路(1)代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，根据函数最值的求法进行求解．在转化过程中常用到向量的数量积、二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法．(2)几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、最小取值点．2．特征三角形掌握圆心距和两圆半径的关系以及圆的平面几何性质对于解决圆的问题起到很重要的作用．涉及与圆的弦有关的问题时，为简化运算，常利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行解题．例1已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y＋x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．与圆有关的最值问题解方法一(1)令yx＝t，则x2＋t2x2－4x＋1＝0，即(1＋t2)x2－4x＋1＝0.由Δ≥0，得－3≤t≤3.∴yx的最小值为－3，最大值为3.(2)令y＋x＝m，则y＝－x＋m，x2＋(－x＋m)2－4x＋1＝0，即2x2－(2m＋4)x＋m2＋1＝0.由Δ≥0，得2－6≤m≤2＋6.方法二(1)yx即为圆(x－2)2＋y2＝3上的点与原点连线的斜率，由于OC＝2，CT1＝CT2＝3(T1，T2为过O引圆的两切线的切点)，所以∠T1OC＝∠T2OC＝60°，∴＝－3，＝3.∴yx∈[－3，3]，yx的最小值为－3，最大值为3.1OTk2OTk(2)令y＋x＝m，y＝－x＋m，直线y＝－x＋m与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有|2＋0－m|2＝3，|m－2|＝6，m＝2±6.∴y＋x的最大值为2＋6，最小值为2－6.(3)x2＋y2表示圆x2＋y2－4x＋1＝0上的点到原点的距离，故其最大值为2＋3，最小值为2－3.∴x2＋y2的最大值为7＋43，最小值为7－43.变元转换，构造方程与数形结合(明确代数式的几何意义)是处理二元条件最值问题的常用方法．我们还可以运用参数方法x＝2＋3cosαy＝3sinα(α为参数)来处理．探究提高已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y＋2x＋1的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；(3)求P(x，y)点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．变式训练1解(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y＋2x＋1的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率，设y＋2x＋1＝k，即y＋2＝k(x＋1)．当此直线与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k＋k－2|k2＋1＝3，解得k＝6＋306或k＝6－306.∴y＋2x＋1的最大值为6＋306，最小值为6－306.(2)x－2y可看作是直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值．此时：|2－b|5＝3，∴b＝2＋15或b＝2－15.∴x－2y的最大值为2＋15，最小值为2－15.(3)∵圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝|6＋12|5＝185，∴P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为185－3.例2直线l：x－ky＋22＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，△ABC的面积为S.求S的最大值，并求此时直线l的方程．与圆有关的弦长问题解方法一∵直线l与圆C交于两点，∴221＋k22.解得k－1或k1.∵AB＝24－81＋k2＝4k2－1k2＋1，∴S(k)＝12·4k2－1k2＋1·221＋k2＝42·k2－1k2＋1＝42k2－1＋2k2－1≤4222＝2，当且仅当k2－1＝2k2－1，即k＝±3时，S取得最大值2，此时直线l的方程为x－3y＋22＝0或x＋3y＋22＝0.方法二设O到直线AB的距离为m，则AB＝24－m2，∴S＝12AB·m＝4－m2·m＝(4－m2)·m2≤4－m2＋m22＝2，当且仅当4－m2＝m2，即m＝2时等号成立．∴S的最大值为2.此时由221＋k2＝2，得k＝±3.直线l的方程为x±3y＋22＝0.为了表示△ABC的面积，应先选择适当的变量，而变量的选择取决于影响确定图形的因素，本题可以直接选用题设中的变量，也可以改用弦心距为自变量，很明显，由于设出的变量即为高，而底(弦长)又极易用高表示，故后者的运算量相对较小．探究提高已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M、N为切点，当MN＝455时，求MN所在直线的方程．变式训练2解(1)过A的切线存在，即点A在圆外或圆上，∴1＋a2≥4，∴a≥3或a≤－3.(2)设MN与AC交于点D，∵MN＝455，∴DM＝255.又∵MC＝2，∴CD＝4－45＝45，∴cos∠MCA＝CDMC＝25，又cos∠MCA＝MCAC，∴AC＝5，AM＝1.∴AC＝1＋a2＝5，∴a＝2或a＝－2.∴圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，又MN是以A为圆心，半径AM＝1的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1.∴MN所在直线方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0.(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，综上可知，MN所在直线方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.例3已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)引两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，满足PA＝PB.(1)求实数a，b满足的等量关系；(2)求切线长PA的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．与圆有关的探索性问题解(1)连结PO，PC，∵PA＝PB，OA＝BC＝1，∴PO＝PC，从而a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2.化简得实数a，b满足的等量关系为a＋2b－5＝0.(2)由a＋2b－5＝0，得a＝5－2b.PA＝PO2－OA2＝a2＋b2－1＝(5－2b)2＋b2－1＝5b2－20b＋24＝5(b－2)2＋4.∴当b＝2时，(PA)min＝2.(3)∵圆O与圆C的半径均为1，若存在半径为R的圆P，与圆O相内切且与圆C相外切，则有PO＝R－1且PC＝R＋1.于是PC－PO＝2，即PC＝PO＋2，从而(a－2)2＋(b－4)2＝a2＋b2＋2，两边平方，整理得a2＋b2＝4－(a＋2b)．将a＋2b＝5代入上式，得a2＋b2＝－10.故满足条件的实数a，b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.处理存在性问题的常用方法是先假定存在，再根据条件建立相应的关系式，最后对关系式进行代数变形，求解．本题求解的过程运用了“化繁为简”(无理化有理)的思维策略．不过，当看到出现a＋2b的整体后，应该想到通过整体代入进行简化的方法．探究提高已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.(1)求证：当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；(2)当PQ＝23时，求直线l的方程；(3)探究AM→·AN→是否与直线l的倾斜角有关．若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．变式训练3(1)证明∵l与m垂直，且km＝－13，∴kl＝3.又kAC＝3，∴当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)解①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1，符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵PQ＝23，∴CM＝4－3＝1.∴CM＝|－k＋3|k2＋1＝1，得k＝43.∴直线l：4x－3y＋4＝0.故所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.(3)解∵CM⊥MN，∴AM→·AN→＝(AC→＋CM→)·AN→＝AC→·AN→＋CM→·AN→＝AC→·AN→.①当l与x轴垂直时，易得N－1，－53，则AN→＝0，－53.又AC→＝(1,3)，∴AM→·AN→＝AC→·AN→＝－5.②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由y＝k(x＋1)，x＋3y＋6＝0，得点N－3k－61＋3k，－5k1＋3k.∴AN→＝－51＋3k，－5k1＋3k.∴AM→·AN→＝AC→·AN→＝－51＋3k＋－15k1＋3k＝－5.综上所述，AM→·AN→与直线l的倾斜角无关，且AM→·AN→＝－5.(14分)已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．思想与方法用方程的思想解决圆过定点问题(1)设出直线l1的方程y＝k(x－3)，由d＝r求出k；(2)设出M点的坐标为(s，t)，求出P′、Q′的坐标(用(s，t)表示)，即可写出以P′Q′为直径的圆C的方程．审题视角规范解答解(1)∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，(斜率不存在时，明显不符合要求)即kx－y－3k＝0，[2分]则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝|3k|k2＋1＝1，解得k＝±24，∴直线l1的方程为y＝±24(x－3)．[6分](2)对于圆方程x2＋y2＝1，令y＝0，得x＝±1，故可令P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2的方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝ts＋1(x＋1)．解方程组x＝3，y＝ts＋1(x＋1)，得P′3，4ts＋1.同理可得，Q′3，2ts－1，[9分]∴以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)(x－3)＋y－4ts＋1y－2ts－1＝0，又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋6s－2ty＝0，[12分]若圆C经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±22，∴圆C总经过定点，坐标为(3±22，0)．[14分]批阅笔记(1)本题第(1)问考生解答比较完整．第(2)问得分率不高．原因为二：一是写不出圆C的方程；二是整理得(x2＋y2－6x＋1)＋6s－2ty＝0后，不知如何解决定点问题．(2)解决与圆有关的问题时，以下几点易造成失分：①利用点斜式求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情况．②两圆相切时忽视内切还是外切．③判断直线与圆及圆与圆的位置关系时，重视代数法忽略几何法．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组y＝kx＋b，(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为AB＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2](k为直线斜率)．方法与技巧1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质