微分的概念及运算

二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用一、微分的概念§2.3微分的概念及运算正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0一.微分的概念1.引例：再例如,.,03yxxxy求函数的改变量时为处的改变量在点设函数3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x.320xxy),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?的微分,2.定义:若函数在点的增量可表示为0x(A为不依赖于△x的常数)则称函数)(xfy而称为xA记作即xAyd定理:函数在点可微的充要条件是)(xoxA即xxfy)(d0在点可微,在点处可导,且3.可微的条件：定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则)()(00xfxxfy))((limlim00xxoAxyxxA故)(xoxA在点可导,且在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0定理:函数在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0“充分性”已知)(lim00xfxyx)(0xfxy)0lim(0xxxxfy)(0故)()(0xoxxf线性主部即xxfy)(d0在点的可导,则说明:0)(0xf时,xxfy)(d0)()(0xoxxfyyyxdlim0xxfyx)(lim00xyxfx00lim)(11所以0x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当)(的线性主部y二.微分的几何意义xxfy)(d0xx0xyo)(xfy0xyydxtan当很小时,xyyd时，当xy则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,为称x记作xdxyxd记三.微分的计算dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式(P57)xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为xxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数vuddvuuvdd例1解.),ln(2dyexyx求设,2122xxexxey.2122dxexxedyxxduufdy)(dxxfdy)(21xexyd)(2xexd)(122xxdedxex)(1222dxedxexxx)2(122dxxedxexxxdxexxexx2221方法二:用微分形式的不变性方法一:用定义例2解.,cos31dyxeyx求设)(cos)(cos3131xdeedxdyxxdxxexdexxx)sin()31(cos3131dxxedxxexxsincos33131.)sincos3(31dxxxex例3.设求解:利用一阶微分形式不变性,有0))d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(dyxxydd)sin(cosyxxyxyxsin)sin(例4.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1(ttdcos)d()2(221xtsin1CC说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.练习P.603(1,3,5,7)dxxfdy)(2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvudduufdy)(1.计算函数增量的近似值xxfxfxxf)()()(000)()(0xoxxfy,,0)()(00很小时且处的导数在点若xxfxxfyxxfy)(0dyy四.微分在近似计算中的应用2.计算函数的近似值;)().1(0附近的近似值在点求xxxf)()(00xfxxfy.)(0xxf)(很小时x使用原则:很小x)2;)(,)()100好算xfxf180x的近似值.解:,sin)(xxf取则6sin6cos2123)0175.0()180(例.求29sin.)()()(000xxfxfxxfxxfcos)(设常用近似公式:xn11xxxx1很小)x(,)()()(000xxfxfxxf.,00xxx令.)0()0()(xffxf证明(5),1)(nxxf设,)1(1)(11nxnxf.1)0(,1)0(nffxffxf)0()0()(.1nx3.计算在点附近的函数近似值()0fxx例.计算下列各数的近似值解.)2(;5.998)1(03.03e35.998)1(3)10005.11(100030015.0110)0015.0311(10.995.903.0)2(e.97.0xnxn111xex103.0135.11000例.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量01.01RRRR2401.01RR)(cm126.03因此每只球需用铜约为12.1126.09.8(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,练习P.605(2,4),6作业P.603(2,4,6),4(在书上填),5(3))()(00xfxxfy.)(0xxf.)()()(000xxfxfxxf.)(0xxfdyy.)0()0()(xffxf)0(附近在x)(很小时x小结