3.3.2函数的极值与导数(2)

函数的极值与导数(2)一、知识回顾:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有0()()fxfx我们就说f(x0)是f(x)的一个极大值,点x0叫做函数y=f(x)的极大值点.反之,若,则称f(x0)是f(x)的一个极小值,点x0叫做函数y=f(x)的极小值点.0()()fxfx极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.•1．理解极值概念时需注意的几点•(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．•(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．•(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．•(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．•(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．•2．导数为0的点不一定是极值点．即：y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要不充分条件。二、例题选讲:例1:求y=x3/3-4x+4的极值.解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值+-x0-+x0求导—求极点—列表—求极值1yxxx(-∞,-1)-1(-1,0)（0，1）1(1,+∞)+0--0+'()fx()fx所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是21,0xxx解：f(x)=所以导函数的正负是交替出现的吗？不是22211'()1xfxxx，'()01fxx时，x当变化时，f'(x),f(x)变化如下表-22思考：已知函数在处取得极值。（1）求函数的解析式（2）求函数的单调区间322fxaxbxx2,1xxfxfx练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf-3/11x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.练习2:求函数的极值.216xxy解:.)1()1(6222xxy令=0,解得x1=-1,x2=1.y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y↘极大值-3↗极小值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.练习3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件.]1,0[x解:(1)由得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.023)(2axxxf由于当x0时,当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1..0)(,0)(xfxf(2)等价于当时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0对一切恒成立.]1,0[x]1,0[x由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切恒成立.]1,0[x所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:).35(35)(2224baxxbxaxxf由题意,应有根,故5a=3b,于是:10)(xxf).1(5)(22xaxxf(1)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗)(xf)1,(),1(由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1-0≥00-f(x)↘极小值↗极大值↘)1,(),1()(xf由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.第二课时一、复习:1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;,0)(,0)(xfxf(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,0)(,0)(xfxf3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利用导数判断函数极值的基本方法.例1:已知函数f(x)满足条件:①当x2时,;②当x2时,;③.求证:函数y=f(x2)在处有极小值.0)(xf0)2(0)(fxf2x证:设g(x)=f(x2),则.2)()(2xxfxg故当时,x22,由条件①可知,即:2x0)(2xf;02)()(2xxfxg当时,x22,由条件②可知,即:20x0)(2xf;02)()(2xxfxg又当时,.022)2()2(2fgx所以当时,函数y=f(x2)取得极小值.2x为什么要加上这一步?例3:已知:(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.).0(1)(2axbaxxf解:(1).)1(2)1()(2)1()(222222xabxaxxbaxxxaxf令,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a20,0)(xf故有不相等的两实根α、β,设αβ.0)(xf又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负.注意到与g(x)的符号相同,可知α为极小值点,β为极大值点.)(xf(2)由f(α)=-1和f(β)=1可得:.1122baba两式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:.0,02,0,,02)2(22babbaba从而方程可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即α=-1,β=1.0)(xf由.2121)(2aabaf故所求的值为a=2,b=0.x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.练习1:求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为),,0()0,(.))((1)(222xaxaxxaxf令,解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xf