3.3.2函数的极值与导数课件

3.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数f(x)减函数巩固：定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)0,得x0或x1，则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)0,得0x1,f(x)单减区(0,1).注意:求单调区间:1:首先注意定义域,2:其次区间不能用(U)连接（第一步）解：（第二步）（第三步）单调区间27x21-x31f(x)23yxOabyf(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?f(x2)、f(x4)比x2、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?观察图像：函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值）使函数取得极值的点x0称为极值点理解极值概念时需注意的几点•(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．•(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．•(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．总结•(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))yxO探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？结论:极值点处，如果有切线，切线是水平的.即:f(x)=0x1x2x3f(x1)=0f(x2)=0f(x3)=0x4f(x4)=0思考;若f(x0)=0，则x0是否为极值点？是极值点吗？）（处，在，得由0,00'03)(',)(23xfxxxfxxfxyO分析yx3进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极小值即:极值点两侧单调性互异f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?x2xXx2x2Xx2f(x)f(x)xXx1x1Xx1f(x)f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0极大值f(x)0f(x)=0极小值f(x)0注意:(1)f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0因为所以例1求函数的极值.4431)(3xxxf解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令解得或,0)(xf,2x.2xx(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–)(xf++28343所以,当x=–2时,f(x)有极大值;当x=2时,f(x)有极小值.28343求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况小结练习求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xx0f(x)()fx+–)121,(),121(1212449所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–()fx++5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:解得列表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)-1022+()fx__所以,当x=2时,f(x)有极大值22;当x=-2时,f(x)有极小值–10.,0312)()3(2xxf令.2,221xx求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:解得列表:x(–∞,–1)–1(–1,1)1(1,+∞)00f(x)-22+()fx__所以,当x=1时,f(x)有极大值2;当x=-1时,f(x)有极小值–2.,033)()4(2xxf令.1,121xx小结：1个定义:极值定义2个关键：①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0。②极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤：①确定定义域②求f’(x)=0的根③并列成表格用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况