高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课

第七章空间解析几何与向量代数习题课一、向量的基本概念1．向量的坐标:2．向量的模:方向余弦为:(,,)xyzaaaa设起点和终点,则),,(1111zyxM2222(,,)Mxyz12212121(,,)MMxxyyzz222xyzaaaa3．方向角：向量与三个坐标轴正向的夹角a,,222222222cos,cos,cosyzxxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa1coscoscos222Ⅰ向量代数4．单位向量：0222(,,)||xyzxyzaaaaaaaaa5．向量的投影：Pr||cos(,)ajbbab二、向量的运算1．线性运算（1）(,,)xxyyzzabababab（2）(,,)xyzaaaa2．数量积（1）定义：（2）坐标表示：cos(,)abababxxyyzzabababab②分配律：()abcacbc③结合律：()()()ababab（4）向量的夹角：cos(,)ababab（5）性质：2;0;xxyyzzaaaababababab2．向量积（1）定义：（3）运算律：①交换律：abbacabsin(,)cabab模：方向：垂直与确定的平面，且符合右手规则。cba③结合律：()()()ababab（4）性质：0,//0aaabab②分配律：()abcacbc①反交换律：abba（3）运算律：（2）坐标表示：xyzxyxijkabaaabbb一、平面与直线的方程1．平面方程:（1）点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA其中为平面的法向量，(,,)nABC0000(,,)Mxyz为平面的一定点。（2）一般方程：0DCzByAx（3）截距式方程：，其中1czbyaxcba,,分别为平面在三坐标轴zyx,,上的截距。2．点到平面的距离：222000CBADCzByAxdⅡ平面与直线、空间曲面与曲线3．直线方程：（1）一般方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA（2）对称式方程：pzznyymxx000其中为直线的方向向量，(,,)smnp),,(0000zyxM为直线的一定点。（3）参数方程：ptzzntyymtxx000则它们的夹角为：222222212121212121cospnmpnmppnnmm（2）两平面相交（夹角）设与平面的法向量分别为与121111(,,)nABC2222(,,)nABC4．线、面之间的位置关系：（1）两直线相交（夹角）设与的方向向量分别为与1111(,,)smnp2222(,,)smnp1L2L（3）直线与平面相交（夹角）设直线的方向向量为,L(,,)smnp222222sinpnmCBACpBnAm平面的法向量为(,,),nABC则它们的交角：则222222212121212121cosCBACBACCBBAA（4）线、面之间的平行与垂直设直线与的方向向量分别为，1L2L1111(,,)smnp2222(,,)smnp平面与的法向量分别为121111(,,),nABC2222(,,),nABC☆1111212222////ABCnnABC1111212222////mnpLLssmnp//0LsnAmBnCp12121212120nnAABBCC12121212120LLssmmnnpp//ABCLsnmnp☆☆☆☆☆二、空间曲面1．一般方程：0),,(zyxF2．旋转面：曲线(,)00fyzx同理可得面上的曲线绕轴旋转所得旋转面的方程及zoxz绕轴旋转所得旋转面的方程。x绕轴旋转所得旋转曲面z22(,)0;fxyz方程为绕轴旋转所成的旋转曲面y22(,)0;fyxz方程为三、空间曲线1．一般方程0),,(0),,(zyxGzyxF2．参数方程)()()(tzztyytxx3．空间曲线在坐标面上的投影曲线：（1）0),,(0),,(zyxGzyxF在面上的投影曲线：xoy00),(zyxH（2）0),,(0),,(zyxGzyxF在面上的投影曲线：yoz(,)00Ryzx（3）0),,(0),,(zyxGzyxF在面上的投影曲线：xoz(,)00Txzy向量代数典型例题【例1】已知两点和,求向量1(4,2,1)M2(3,0,2)M余弦和方向角。12MM的模、方向解：12(1,2,1)MM12||2MM方向余弦为,,cos12cos22cos12方向角为,,233413【例2】确定的值，使向量与向量,,3(1)ijk相等。并求此时向量的模与方向余弦。(3)()3ijk分析：向量相等的定义是向量坐标对应相等。解：由已知条件得3133易得141即当时两向量相等。1,4,133aijk方向余弦为。193,193,191,19a模为此时向量为【例3】已知都是单位向量，且满足，求.,,abc0abcabbcca分析：向量的坐标没给出，也没给出之间的夹角，无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。,,abc解：0()()abcabc于是32abbcca32()abbcca2()aabbccabbcca求。【例4】已知向量两两互相垂直，且,,pqr,3,2,1rqprqp分析：由于向量没给出坐标，只给出了模，注意,,pqr2aaa，并利用条件，0pqpq便可求出rqpSpqr；或可不妨置计算向量的模。于坐标系中解法1：2()()pqrpqrpqrpppqprqpqqqrrprqrr222222012314pqr14rqp所以解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设,2,3piqjrk23Spqrijk则于是22212314pqrS【例5】已知向量与三向量123(,,)xxxx(0,1,1),(1,0,1)的数量积分别为3,5,4，试求向量及与其同向的单位向量。x(1,1,0),解：依题意有3,5,4xxx即453313221xxxxxx解得，3,2,1321xxx14x与同向的单位向量为x0123(,,)141414xxx(1,2,3)x则分析：利用与每个的数量积，可得出关于x321,,xxx的联立方程组，解之便得结果。,,【例6】已知和。求与)1,3,3(),2,1,1(21MM)3,1,3(3M1223,MMMM同时垂直的单位向量，并且求以1223,MMMM为两邻边的平行四边形面积。分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量；利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。解：1223(2,4,1),(0,2,2)MMMM1223aMMMM241022ijk644ijk与同时垂直的单位向量为：1223,MMMM1(3,2,2)17aa平行四边形面积22212236(4)(4)217SMMMM【例7】在坐标平面上求向量，它垂直于向量xOyp(5,3,4),q并与向量有相等的模。q分析：先设出向量，再用两个条件确定其系数。p解：由已知条件,可设,(,,0)pab254)3(5222q由已知条件有，(,,0)(5,3,4)530pqababaaabap1732350222225q则15525,31717aba(1517,2517,0)p于是ab35则【例8】已知向量，轴与三坐标轴正向构成(4,3,2)au相等锐角，求在轴上的投影。au分析：先求出轴上的单位向量，再利用向量投影公式。u解：设轴的方向余弦分别为，ucos,cos,cos由已知条件及1coscoscos222即轴上的正向单位向量为，u0111(,,)333u0001Prcos(,)(432)33uaujaaauauu于是1cos32得1coscoscos3所以【例9】设向量，，其中，，2pabqkab1a2b且。问：ab（1）为何值时，kpq以与为邻边的平行四边形面积为6。（2）为何值时，kpq分析：（1）用向量垂直的充分必要条件；（2）用向量积的模的几何意义。解：（1）当时(2)()0pqabkab即，222(2)0kabkab亦即，时002122k2k0pq故当，时。2kpq（2）平行四边形面积bakbaqpS2abkbabbaak22bak)2(002sin,kabab2sin212k622k则，于是或32k5k1k以与为邻边的平行四边形面积为6。pq当或时，5k1k直线与平面典型例题【例1】求平行于轴且经过两点的平面方程。x)7,1,5(),2,0,4(分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知知两点确定的向量与向量的向量积求平面的法向量；i（2）由平面平行于轴的特殊条件，可采用平面的一般式，x设出不含的平面方程，再由已知两点确定平面方程的待定系数。x解法1:由已知点，确定向量,)7,1,5(),2,0,4(BA(1,1,9)AB轴上的单位向量，可确定所求平面的法向量x(1,0,0)i1199(0,9,1)100ijknABijk平面过点，则所求平面的点法式方程为(4,0,2)0)2(9zy即029zy解法2：平面平行于轴，则平面方程中不含变量,于是xx可设平面方程为0DCzBy点在平面上，满足平面方程，即有)7,1,5(),2,0,4(07020DCBDC，得CBCD92则平面方程为029CCzCy即029zy【例2】求经过两点且与平面2480xyz)4,0,6(),9,2,3(垂直的平面方程。分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。，平面过向量，所以，。(9,2,5)ABnAB已知平面的法向量为，1:0842zyx1(2,1,4)n因为，所以，可取11nn19253265214ijknABnijk则所求平面的点法式方程为0)9(5)2(26)3(3zyx即02263zyx解：设所求平面的法向量为，已知平面过点(6,0,4)B(3,2,9),An【例3】过点且在三坐标轴上截距相等的平面方程。)4,5,3(分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知的点确定三个相等的截距。解：设所求平面的截距式方程为，1azayax将已知点的坐标代入方程确定参数，有a1453aaa2a所求平面的截距式方程为。1222zyx或写为一般式方程。2zyx解得【例4】求与