二维随机变量函数的分布

3.3二维随机变量函数的分布已知随机变量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是连续函数。一、两个离散型随机变量的函数的分布例3.19已知随机变量(X,Y)的联合分布律为试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律。YX1211/51/5201/531/51/5解Z1的所有可能取值为2,3,4,5P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=1/5P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=2/5P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5Z1的分布律为Z12345P1/51/52/51/5YX1211/51/5201/531/51/5Z2=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/5+0+1/5=2/5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=1/5+1/5=2/5Z2的分布律为Z2123P1/52/52/5例3.20设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为λ1和λ2的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为λ1+λ2的泊松分布。证11!)(111ekkXPk22!)(222ekkYPkk1=0,1,2,…k2=0,1,2,…Z=X+Y的所有可能取值为0,1,2,3,…X~P(λ1)Y~P(λ2)kiikYiXPkYXPkZP0),()()(kiikYPiXP0)()(kiikieikei02121)!(!kiikiikikke021)()!(!!!121)(2121!)(ekk因此Z~P(λ1+λ2)k=0,1,2,…二维离散型随机变量函数的分布设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…kjizyxgiijp),(:j,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12…pij…Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)…g(xi,yj)…例3.21设随机变量(X,Y)的概率分布为XY-1012-10.20150.10.320.100.10.05求随机向量(X,Y)的函数的分布(1)Z1=X+Y(2)Z2=XY。(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,1)(2,2)pij0.20.150.10.30.100.10.05Z1=X+Y-2-1011234Z2=XY10-1-2-2024Z1的分布律为Z1-2-101234pk0.20.150.10.400.10.05Z2的分布律为Z2-2-10124pk0.40.10.150.20.10.05练习.设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布，其分布律均为(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律；(4)求Z=X2+3Y。解：X01Pqp(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW＝X＋YV＝max(X,Y)U＝min(X,Y)Z=X2+3Y2qpqpq2p0112011100020314二、两个连续型随机变量的函数的分布设二维随机向量(X,Y)~f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为)()(zZPzFZ)),((zYXgPzyxgdxdyyxf),(),(即FZ(z)可利用f(x,y)在平面区域：G={(x,y)|g(x,y)≤z}上的二重积分得到。Z=g(X,Y)的密度函数为zyxgZZdxdyyxfdzdzFdzdzf),(),()()(三、常用的随机变量的函数的分布1、和的分布设(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2,Z=X+Y，则Z是连续型随机变量，且Z的概率密度为dxxzxfzfZ),()(),(zdyyyzfzfZ),()(),(z此两公式称为卷积公式。或证明对任意的z∈R，Z=X+Y的分布函数为zyxZdxdyyxfzYXPzF),()()(xzdyyxfdx),(Oxyz=x+y固定xxzzdtxtxfyxtdyyxf),(),(令zzZdtdxxtxfdxdtxtxfzF),(),()(交换积分次序zZZdtdxxtxfdzdzFdzdzf),()()(所以dxxzxf),(z∈R同理可得dyyyzfzfZ),()(z∈R特别地，当X,Y相互独立时，dxxzfxfdxxzxfzfYXZ)()(),()(dyyfyzfdyyyzfzfYXZ)()(),()(或其中，fX(x)，fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度。上式也称为fX(z)与fY(z)的卷积公式例3.22设(x,y)~N(0,0,1,1,0)，试求Z=X+Y的密度函数解由于=0，所以X与Y相互独立，且2221)(~xXexfXx2221)(~yYeyfYy所以Z的密度函数为dyxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(2222121dxeedxezxzzzxz22222244222212zxu令2222222442212121)(zzuzZeedueezf此式说明Z~N(0,2)一般地，(1)),(~211NX),(~222NY又X与Y相互独立，则),(~222121NYX(2)Y=aX+b(a,b为常数，且a≠0),),(~2NX则),(~22abaNY(3)),(~211NX),(~222NYX与Y相互独立，且α,β是不全为0的常数，则),(~22221221NYX(4)),(~2iiiNXXi相互独立，αi,是不全为0的常数，),(~12212211niiiniiinnNXXXZi=1,2,3,…,n，则相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。几个结论：(1)正态分布:设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,则(2)普洼松分布：设随机变量X1,X2独立且Xi服从普洼松分布(i)(i=1,2),则X1＋X2～(1＋2)(3)二项分布：设随机变量X1,X2独立且Xi服从二项分布b(ni,p)(i=1,2),则X1＋X2～b(n1+n2,p)(4)0-1分布:设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从0-1分布b(1,p),i=1,...,n,则),(~212112211iniiniiiniiinnaaNXaXaXaXa),(~121pnbXXXXniin练习卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量，则05.0}2000{1niiXP由题意,令)5.2,50(~21nnNXnii05.0)5.2502000(1}2000{1nnXPnii95.0)5.2502000(nn查表得645.15.2502000nn39n例3.23设X,Y相互独立，且两者都在区间[0,1]上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。解X,Y的密度函数分别为其它0101)(xxfX其它0101)(yyfY由卷积公式dxxzfxfzfYXZ)()()(O12zx1x=zx=z-1当0x1，且0z-x1时，被积函数为1，其它区域被积函数为0，即0x1，且z-1xz其它0211101110zdxzdxzz其它021210zzzz2、M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）设随机变量X,Y相互独立，且分布函数分别为FX(x)，FY(y)，求M与N的分布函数。)()()),(max()()(zYzXPzYXPzMPzFM)()()()((zFzFzYPzXPYX由独立性即M的分布函数为)()()(zFzFzFYXM)),(min(1)(1)()(zYXPzNPzNPzFN)()(1)(1zYPzXPzYzXP)(1)(11zYPzXP)(1)(11zFzFYX即N的分布函数为)(1)(11)(zFzFzFYXN结论的推广(1)设X1,X2,…,Xn相互独立，且Xi的分布函数为Fi(xi)，则M=max{X1,X2,…,Xn}的分布函数为FM(z)＝F1(z)F2(z)…Fn(z)N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为.)](1[1)(1niiNzFzF(2)当X1,X2,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)，则M=max{X1,X2,…,Xn}的分布函数为FM(z)＝[F(z)]nN=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为FN(z)＝1-[1-F(z)]n(3)当X1,X2,…,Xn相互独立且具有相同的概率密度f(x)，则M=max{X1,X2,…,Xn}的密度函数为fM(z)=n[F(z)]n-1f(z)N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为FN(z)＝n[1-F(z)]n-1f(z)例3.24设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，其联接的方式分别为(1)串联，(2)并联，如图所示。设L1，L2的寿命分别为X与Y，而且000)(~xxexfXxX000)(~yyeyfYyY其中0，0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的分布函数与概率密度函数。解(1)串联时，当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)。0001)(xxexFxX0001)(yyeyFyY由条件可得X,Y的分布函数分别为0001))(1))((1(1)()(zzezFzFzFzYZZZ的分布函数为Z的概率密度函数为000)()()(zzezfzZ(2)并联时，当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，因此L的寿命Z=max(X,Y)其分布函数为000)1)(1()()(zzeezFzFzzXZ密度函数为000)()()(zzeeezfzzzZ例3.25设(X,Y)在G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布，试求Z=XY的密度函数。解(X,Y)的联合密度函数为GyxGyxyxf),(0),(21),(Z的分布函数为)()()(zXYPzZPzFZzxydxdyyxf),(Oz12xy1z=