二维随机变量函数的分布3-4

退出退出退出退出返回在离散量的分布列中,对X,Y所有能使函数Z取同一值的全部取值概率进行归并(例如,固定一个变量的取值,然后寻找另一变量与其之和为同一值的取值概率),所得之和即是函数Z在同一可取之值上的取值概率.1.离散变量之和的分布列可用归并法求之Z=X＋Y试求的分布列．退出返回例1设随机变量(X,Y)的联合分布列如下ZXY在联合分布列中对使Z解Z所有可能的取值显然为0，1，2,···,8.YX012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05可取同一值的X与Y的取值概率进行归并,即得Y的分布律如下00.020.240.190.130.0601P5432Z6780.190.120.05退出2.连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之利用分布函数转化法可以证明:将联合概率密度中的任一变量改写成和变量与另一变量的差,然后关于另一变量在(－∞,＋∞)上积分,即得和的概率密度:返回Zfzzfxxdx(,())Zfyyfzdyz(,)()或Z=X＋Y退出()ZFz证∵Z的分布函数(,)zxdxfxydy{}PXYz(,)xyzfxydxdy()Zfz()ZdFzdz[(,)]ytxzfxtxdtdx{}PZz∴Z的概率密度返回例2-1设随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y).证明Z=X＋Y的概率密度Zfzzfxxdx(,())或Zfyyfzdyz(,)()[(,)]zdfxtxdtdxdz[(,)]zdfxtxdxdtdzfxzxdx(,)XY0退出()ZFz证(,)zydyfxydx{}PXYz(,)xyzfxydxdy()Zfz()ZdFzdz[(,)]xtyzftyydtdy{}PZz∴Z的概率密度返回例2-1设随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y).证明Z=X＋Y的概率密度Zfzzfxxdx(,())或Zfyyfzdyz(,)()[(,)]zdftyydtdydz[(,)]zdftyydydtdz(,)fzyydyXY0类似地,∵退出例2-2两标准正态量X与Y相互独立,求其和的概率密度.ZXY解(,)()()XYfxyxy22()2212zxxeedx22221122xyee,)(()Zfzzfxdxx22()4212xzzeedx2412ze返回于是,依卷积公式即得~(0,1),~(0,1),XNYN且相互独立,∴联合概率密度即2tedt2412ze24122zeZN.~(0,2)3.若干重要独立量的和的分布可加性换言之,如果相互独立的随机变量Xi~N(μi,σi2),i=1,2,…,k那么,其任意的线性组合量Z=b1X1+b2X2+…+bkXk也是正态量，且有kkiiiiiiZbb2211~N(,)退出返回Z=X＋Y⑴有限个相互独立的正态量的线性组合仍然是正态量.3.若干重要独立量的和的分布可加性换言之,如果相互独立的随机变量Xi~B(ni,p),i=1,2,…,k那么,其和变量Z=X1+X2+…+Xk也是二项分布量，且有kiiZnp1~B(,)退出返回Z=X＋Y是二项分布量.因此,服从B(n,p)的二项分布量是n个相互独立的0-1量之和.⑵有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然3.若干重要独立量的和的分布可加性kiiZ1~P()退出返回Z=X＋Y⑶有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量.换言之,如果相互独立的随机变量Xi~P(λi),i=1,2,…,k那么,其和变量Z=X1+X2+…+Xk也是泊松量，且有退出例2-4两[0,1]上的均匀量X与Y相互独立,试求和变量的概率密度.ZXY解1,01()0,Xxfx，其它()(),01010,XYfxfdxxzxzx其它且1,01()0,Yyfy其它()(())XYZfzzxfxfdx返回于是,依卷积公式,即得XY~R(0,1),~R(0,1),且相互独立,∴概率密度1ZXOz=x+1z=x1x=z例2-4两[0,1]上的均匀量X与Y相互独立,试求和变量的概率密度.ZXY解1,01()0,Xxfx，其它1,01()0,Yyfy其它XY~R(0,1),~R(0,1),且相互独立,∴概率密度()(())XYZfzzxfxfdx于是,依卷积公式,即得01,01zdxz111,12zdxz0,其它,012,120,zzzz其它1ZXOz=x+11x=zx=1-z退出返回退出返回M=max(X，Y)与N=min(X，Y)如果随机变量X和Y相互独立，分布函数依次为FX(x)和FY(y)，则最大值M=max(X，Y)与最小值N=min(X，Y)的分布函数必依次为MXYFmFmFm()()()NXYFnFnFn()1[1()][1()]即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．1.最值分布的分布函数退出返回M=max(X，Y)与N=min(X，Y)即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．1.最值分布的分布函数XYFmFm()();【最值分布函数计算式的证明】MFmPMm(){}PXYm{max(,)}PXmYm{,}PXmPYm{}{}退出返回NFnPNn(){}XYFnFn1[1()][1()]PNn1{}PXYn1{min(,)}PXnYn1{,}PXnPYn1{}{}M=max(X，Y)与N=min(X，Y)1.最值分布的分布函数【最值分布函数计算式的证明】即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．退出返回M=max(X，Y)与N=min(X，Y)111{}(),{(}){},kkijMkXkYiXjYk111kkkijkijpp即最大值的分布列是联合分布列中两变量取不超过同一可取k值的所有概率的总和．2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并【依据】111{}{,}{,}kkijPMkPXkYiPXjYk退出返回M=max(X，Y)与N=min(X，Y)1()({}{,}{,})ikjkNkXkYiXjYk1kijkikjkpp即最小值的分布列是联合分布列中两变量取不小于同一可取k值的所有概率的总和．2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并【依据】1{}{,}{,}ikjkPMkPXkYiPXjYk退出返回例2-1设随机变量（X，Y)的分布律为YX012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05试求max(X，Y)与min(X，Y)的分布律.M取其中任一M=max(X，Y)的取值范围显然为0～5,解值i的概率(即分布律)为M012345p00.040.160.280.240.28退出返回例2-1设随机变量（X，Y)的分布律为YX012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05试求max(X，Y)与min(X，Y)的分布律.N取其中任一N=min(X，Y)的取值范围为0～3,同理,值i的概率(即分布律)为N0123p0.300.250.170.28退出返回M=max(X，Y)与N=min(X，Y)如果随机变量X和Y相互独立，分布函数依次为FX(x)和FY(y)，则最大值M=max(X，Y)与最小值N=min(X，Y)的分布函数必依次为MXYFmFmFm()()()NXYFnFnFn()1[1()][1()]即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．3.连续变量的最值概率直接由分布函数计算退出返回例2-2设随机变量Xi(i=1,2,…,5)是相互独立的服从同一分布的连续随机变量，概率密度为求M=max(X1，X2，X3，X4，X5)的分布函数以及概率P{M4}.xxexfxx28,0()40,0各Xi的分布函数都为281,0()()0,0xxXexFxftdtx从而，M=max(X1，X2，X3，X4，X5)的分布函数为解15{}{()max}MiiFmMmmPPX12345{,,,,}PXXXmmXXmmm51{}iimPX51()XimF2585(1),0()0,0xXexFxx1{{4}4}1(4)MMMFPP251(1)0.5167e退出返回例2-3某型电子管寿命(小时)服从正态分布求任取4只,无一只的寿命小于180小时的概率.2~(160,20)1,2,3,4,iXN,i=且各Xi(i=1,2,3,4)相互独立.解2(160,20)N.以Xi(i=1,2,3,4)分别记4只电子管的寿命，则显然令N=min{X1,X2,X3,X4}，则应求的概率8{0}1PN411{1[1()180]}iXiF418[1()]016020Φ1{}1180()018NPFN4[1()]1Φ4(10.84131)0.000634相互独立时,k个随机变量最大值的分布函数等于各变量分布函数的乘积，多维随机变量最小值的分布函数等于各变量分布函数(关于1)的补数之积的补数,即iXMkiFmFm1())(,iXNkiFFnn1()1[1]()退出返回4.多维独立随机变量最值分布的一般性结论iikNX1min{}iikMX1max{}若k个随机变量同分布(包括同参数),则有XMkFmFm[()](),XNkFnFn1[1])(()其中,FX(x)表各随机变量共同的分布函数.求的概率密度.退出*例3-1设X与Y相互独立,概率密度分别为ZXY解依卷积公式()ZFz1()01,0100,zxedxxzx且其它()()XYfxfzxdxzzxzedxdxz1()00,01返回zxedxz1()0,1z0,0,().,yYeyfy00其它,(),Xxfx1010其它1,01zez(1),1zeez0,0z1ZXO1z=xx=1退出返回例3-2随机变量（X，Y)的联合分布律如右表所示:12311/61/91/621/181/91/1831/61/91/18XYjpip试求概率P{X=2|Y=2}以及max(X，Y)的分布律.解两边缘分布列如联合分布列加边后算出的数字所示.8/184/186/187/186/185/1822.21/914/182pp条