二维随机变量及其联合分布一

§3.1二维随机变量及其联合分布一、二维随机变量的概念在射击时，弹着点是目标上的一个位置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个变量的影响.在工程结构设计中，出于可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与荷载效应，可靠性也受着两个变量的影响．与一维随机变量类似，一般地我们可定义二维随机变量如下：定义3.1设是一个随机试验，和是定义在其样本空间上的随机变量，，由它们构成的向量称为定义在样本空间上的二维随机变量或二维随机向量，简记为．、依次称为二维随机变量的第1个分量（或坐标）、第二个分量（或坐标）．一般地，设是一个随机试验，是定义在其样本空间上n维随机变量或n维随机向量，简记为，称为第个分量（或坐标），.)(XX)(YY)(),(YXYX,nXXX,,,21nXXX,,,21)(iiXXini,,2,1)(X)(YYX,二、二维随机变量的联合分布在研究随机向量的概率特征时，除每个随机变量的概率特征外，还要研究它们的联合概率特征：后者可以完全决定前者，但是前者一般不能完全决定后者．因此，只研究单个随机变量的分布是不够的，还必须研究随机向量作为一个整体的联合分布．对于二维随机变量，作为整体的分布称为二维随机变量的联合分布YX,YX,（JointDistribution）．与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引入二维随机变量的分布函数的概念．定义3.2设是定义在样本空间上的二维随机变量，对于任意的实数，称函数（3—1）为二维随机变量的联合分布函数（JointDistributionFunction），简称的分布函数．)(),(YXyx,},:{),(yYxXPyxF)(),(YX),(YX以后,将（3—1）中的表达式简记为．显然，分布函数在平面上任意点处的函数值就是随机点落在点左下方的整个无穷区域内的概率，如图3.1所示．},{),(yYxXPyxF),(yxF),(yx),(YX),(yxo图3.1y）（yx,x联合分布函数具有下列性质由定义3.2和图3.2易知，对任意的（），有1.（3－2）从而,≥0（3—3）2121,,,yyxx2121,yyxx),(),(},{12222121yxFyxFyYyxXxP),(),(1121yxFyxF),(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF（x2，y2）（x1，y2）（x2，y1）（x1，y1）图3.2o2.是和的单调非降函数；（证略）3.对于平面上的任意点，；且对任意固定的，，对任意固定的，，,（3—4）这可借助于几何直观进行说明．4.关于和均右连续，即,),(yx1),(0yxFy0),(yFx0),(xF0),(F1),(F),(yxFxy),0(),(yxFyxF)0,(),(yxFyxF三、二维离散型随机变量及其联合分布律与一维随机变量的情形类似，我们这里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量．定义3.3若二维随机变量的所有可能取值只有有限或可列无限个，则称为二维离散型随机变量．显然，若是二维离散型随机变量，则其分量和都是一维离散型随机变量.通常,我们用联合概率分布律（列）),(YX),(YX),(YXXY定义3.4设是二维离散型随机变量，它所有可能的取值为,，则称（3—5）为的联合分布律（列）或联合概率分布(JointProbabilityDistribution)，简称分布律．分布律一般用表格形式表示:（3—6）),(YX),(jiyx,2,1,ji,2,1,,},{jipyYxXPjiji),(YXXjyyy211xjppp112112xjppp22221ixjiiippp21显然，二维离散型随机变量的分布列满足：1.（非负性）2.（规范性）（3—7）其联合分布函数为（3—8）0jipjijip,1yyxxjijipyYxXPyxF},{),(四、二维连续型随机变量及联合概率密度函数与一维情形类似，我们有如下定义：1.定义3.5设二维随机变量的分布函数为，若存在非负可积函数，使得对于任意实数和，有（3—9）则称为二维连续型随机变量，称为的联合概率密度函数（JointProbabilityDensityFunction），),(YX),(yxF),(yxfxyyxyxyxfyxFdd),(),(),(YX),(yxf),(YX简称的概率密度．类似地，的联合概率密度函数具有性质（证略）：（1）（非负性）；（2）（规范性）；（3—10）（3）对于平面上任意可积的区域有；（3—11）（4）若除可数点外的二阶混合偏导数处处连续,则0),(yxf1dd),(yxyxfDyxyxyxfDYXP,dd,}),{(,D),(yxF(3-12)是的一个联合概率密度函数．由性质（3）知：在几何上，表示空间的一个曲面，的值等于以为底、以曲面为顶的曲顶柱体的体积．设是平面上的某个区域，其面积为，若(X,Y)的概率密度函数（3－13）yx,22(,)(,)(,)FxyFxyfxyxyxy在的连续点处0fxy，其他yxfz,}),{(DYXPDyxfz,DS),(YX其它0),(1),(DyxSyxf则称服从区域上的均匀分布，记为．若的概率密度函数为其中均为常数，，则称服从参数为（）的二维正态分布，记为．))())((2)(()1(21exp121),(2222212121212221yyxxyxf),(YXD)(~),(DUYX,,,,2121221),(,1,0,0Ryx),(YX,1,2,,2221),,,,(~),(222121NYX