二维随机变量的联合分布函数若

二维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义(,){,}FxyPXxYy称为二维随机变量的联合分布函数性质(1)(,)Fxyxy分别关于和单调不减(,)0Fy(,)0Fx(,)0F(,)1F(2)0(,)1Fxy(3)xy(x,y)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Yy2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1Xx2，y1Yy2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)二维离散型随机变量若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。（X，Y）的联合概率分布（分布律）111ijijp表达式形式YX1y2yjy1x11p12p1jp2x21p22p2jpix1ip2ipijp。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质01ijp,(1,2,;1,2,)ijijPXxYypij一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(,)XY的联合分布列.(,)XY的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例解见书P69，习题1(,)XY的可能取值为例解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）11(,)(0,0),(,)(1,1)6315(,)(1,13),(,)(2,0)1212PXYPXYPXYPXY（X，Y）的联合分布律为yX011/301/600-101/31/1225/1200若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式(,)(,)xyFxyfuvdudv则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义联合概率密度函数的性质(,)1fxydxdy((,))(,)DPxyDfxyd非负性几何解释Dxy(,)fxy(,)0fxy.2(,)(,)Fxyfxyxy.(,)1F随机事件的概率=曲顶柱体的体积设二维随机变量(,)XY的概率密度为(1)确定常数k；(23)0,0(,)0xykexyfxy其它(,)XY(2)求的分布函数；{04,01}PXY(3)求；.{}PXY(4)求例2300xykedxedy230011[][]23xykee6k(1)(23)00xykedxdy116k(,)fxydxdy所以解(,)(,)xyFxyfuvdudv(2)当时，0,0xy或(,)0Fxy当时，0,0xy且2300(,)6xyxyFxyedudv23(1)(1)xyee所以，23(1)(1),(0,0)(,)0xyeexyFxy其他{04,01}PXY(3)14(23)006xyedxdy83(1)(1)0.95ee41或解{04,01}PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0xyyxx0y{}(,)DPXYfxydxdy(4)323[1]0yyeedy35323310055yyedyedy(,)xyfxydxdy(23)600xyyedxdy224例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为1(6),02,24(,)80,xyxyfxy其他求概率(1)1,3;(2)3PXYPXY解1,3(,)DPXYfxydxdy13021(6)8dxxydy112320113(6)828yxyydx3(,)DPXYfxydxdy13021(6)8xdxxydy1232011(6)82xyxyydx524续解……….x+y=3思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为1(6),02,24(,)80,xyxyfxy其他求概率41PXYX2241解答41PXYX4,11PXYXPX241224121(6)81(6)8xdxxydydxxydy74873818二维均匀分布1,(,)(,)0,xyDfxyA其它设二维随机变量(,)XY的概率密度为DA(,)XYD上服从均匀分布.在，则称是平面上的有界区域，其面积为其中思考已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）12PY解（X,Y）的密度函数为y=2x+1-1/2(,),FxyPXxYy（1）当时，12x(,)0FxyP分布函数为14,(0,021)(,)20,xyxfxy其他y=2x+1-1/2（2）当时，102x0(,)0,yfxy时，(,)0Fxy所以，021yx时，(,)4Fxydxdy梯形42212ySyx梯形21yx时，(,)4Fxydxdy三角形21442Sx三角形y=2x+1-1/2（3）当时，0x0(,)0,yfxy时，(,)0Fxy所以，01y时，(,)4Fxydxdy梯形4212ySy梯形1y时，(,)4Fxydxdy三角形41S三角形所以，所求的分布函数为210,(0)21221,(0,021)2211(,)4,(0,21)2221,(0,01)21,(0,1)xyyyxxyxFxyxxxyyyxyxy或0.5y=2x+1-1/212PY4dxdy梯形34二维正态分布设二维随机变量(,)XY的概率密度为12222112222211221(,)21()()()()1exp[2]2(1)fxyxxyy(,)xy1212,,,,120,0,11其中均为参数则称(,)XY服从参数为1212,,,,的二维正态分布221212(,,,,)N