高数下册第9章空间解析几何与向量代数

数量关系—第九章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算第九章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcbacb)(cbacba)(aababas3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法三角不等式aaa3.向量与数的乘法是一个数,.a规定:;1aa可见;1aa与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律)(babaa则有单位向量.1aa因此aaa定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则,0故.即a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,0)(ab.ab故“”则注：定理1是建立数轴的理论依据。因给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥bxixOPP实数向量点ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,o•坐标面•卦限(八个)面xoy面yoz1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰxyzo向径在直角坐标系下11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rrM坐标轴:坐标面:xyzo2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),,(zyxxoyzMNBCijkA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,r任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA),,(zyxkzjyixOMrM四、利用坐标作向量的线性运算设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb则ba),,(zzyyxxbababaa),,(zyxaaa,0时当axxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数例1.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示ABMo11MAB及实数,1得11),,(212121zzyyxx即AMMBAMOAOMMBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(说明:由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点M为AB的中点,于是得,221xx,221yy221zzABMoMAB11),,(212121zzyyxx中点公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式222zyx),,,(zyxr设则有OMrxoyzMNQRP由勾股定理得因得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx对两点与,rOM作OMrOROQOP例2.在z轴上求与两点等距解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为2)4(212)7(z23252)2(z解得故所求点为及.),0,0(914M离的点.oyzx2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量ba,的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,r为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.记作oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz方向余弦的性质:例3.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:,43,20)12计算向量)1,2,1(2221)2()1(2,21cos22cos32343例4.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为,,43求点A的坐标.,,43则222coscos1cos41因点A在第一卦限,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点A的坐标为.)3,23,3(向径OA与x轴y轴的夹,6AO且OAOAAO3.向量在轴上的投影如图所示：则向量.)(Pr,,uurrjureMO或记作轴上的投影在称为向量则数设性质：称为向量r在u轴上的分向量.uuuuuuaaiiibabaiiuaaai)()(.)()()(.)),((,cos)(.^uMOMe解:因例5.设,853kjia,742kjib求向量cbal34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.13xl在y轴上的分向量为jjly7故在x轴上的投影为kjic45*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积第九章1M一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为cossFsFW2Mba的与为baba,s上的投影为在ab记作故,0,时当同理b2.性质为两个非零向量,则有bajrPbbabaajrPaa)1(ba,)2(0ba0ba则0,0ba3.运算律(1)交换律(2)结合律)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(bababcjrPacjrPcbabacjrPccbaccjrPjrPacjrPcbcjrPccacb)(jrPbacABCabc例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBA2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,,4.数量积的坐标表示设则0zzyyxxbababa当为非零向量时,coszzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于cosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(kajaiazyx)(kbjbibzyxjikjikbaba两向量的夹角公式,得)(MB,)(MABM例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAMAMB.A解:,1,10,1,01则AMBcos10022AMB求MBMAMAMB故二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPMM矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力FoPFMFM1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩思考:右图三角形面积abS＝2.性质为非零向量,则，0sin或即0aa)1(0ba,)2(0baba∥,0,0时当baba∥0basinab03.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(证明:)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyx)(iibaxxibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zxzxbbaaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx例1.已知三点,)5,2,0(),3,2,1(,)1,0,1(CBA角形ABC的面积解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21ABAC21ACAB求三证明:由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACCACB练习一点M的线速度例3.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.Ml解:在轴l上引进一个角速度向量使a其在l上任取一点O,O作它与则点M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为,sinr,,rv方向与旋转方向符合右手法则,向径*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAVcba)(cba,,,cba的为cba,,,Abaccba,,以则其cba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),,(zyxaaaacbazyzybbaa,),,(zyxbbbb),,(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:][(可用三阶行列式推出)cbacba,,abc][abc][abcabc例1.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.1A2A3A4A解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故6112xx12yy12zz13xx13yy13zz14xx14yy14zz,21AA,31AA41AA][413121AAAAAA例2.证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面.解:因0)17,15,10(DABCD34512291416故A,B,C,D四点共面.][ADACAB四、二