【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 6.6 直接证明与间接证明限时集训 理

1限时集训(三十七)直接证明与间接证明(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，至多有两个是偶数2．已知函数f(x)＝12x，a，b为正实数，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A3．(2013·成都模拟)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质，下面给出双曲函数的定义：双曲正弦函数：shx＝ex－e－x2，双曲余弦函数：chx＝ex＋e－x2，则函数y＝ch(2x)－chx的值域为()A．{y|y≥－1}B．{y|y≥1且y≠4}C．{y|y≥0}D．{y|y≥0且y≠1}5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是()A．PQB．P＝QC．PQD．由a的取值确定6．(2013·银川模拟)设a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②ab，ab及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中正确判断的个数为()A．0B．1C．2D．327．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列8．在R上定义运算：abcd＝ad－bc.若不等式x－1a－2a＋1x≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A．－12B．－32C.12D.32二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知两个正数a，b，可按规则c＝ab＋a＋b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若a＝1，b＝3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是________．10．设Sn＝12＋16＋112＋…＋1nn＋(n∈N*)，且Sn＋1·Sn＋2＝34，则n的值是________．11．(2013·株洲模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)且1a＋9b＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．12．(2013·杭州模拟)设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：(1)方程f′(x)－x＝0有实数根；(2)函数f(x)的导数f(x)满足0f′(x)1.试判断下列两个函数：①f(x)＝x2＋sinx4；②f(x)＝x＋cosx．其中是集合M中的元素的有________(用序号填空)．13．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是________．14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q(p≤q且p，q∈N*)是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f(n)＝pq，例如f(12)＝34.关于函数f(n)有下列叙述：①f(7)＝17，②f(24)＝38，③f(28)＝47，④f(144)＝916.其中正确的序号为________(填入所有正确的序号)．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)315．已知a0，1b－1a1，求证：1＋a11－b.16．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．17．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2b2n＋1.答案[限时集训(三十七)]1．B2.A3.A4.C5.C6.C7.B8.D9．解析：操作一次得到新数1×3＋1＋3＝7；操作两次得到新数3×7＋3＋7＝31；操作三次得到新数7×31＋7＋31＝255.答案：25510．解析：由1nn＋＝1n－1n＋1得4到Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1，Sn＋1·Sn＋2＝n＋1n＋2·n＋2n＋3＝n＋1n＋3＝34，解得n＝5.答案：511．解析：∵a，b∈(0，＋∞)且1a＋9b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝10＋9ab＋ba≥10＋29＝16，∴a＋b的最小值为16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16.答案：(0,16]12．解析：①因为f′(x)＝12＋14cosx，所以f′(x)∈14，34，满足条件0f′(x)1.又因为当x＝0时，f(0)＝0，所以方程f(x)－x＝0有实数根0.所以函数f(x)＝x2＋sinx4是集合M中的元素．②因为f′(x)＝1－sinx，所以f′(x)∈[0,2]，不满足条件0f′(x)1，所以函数f(x)＝x＋cosx不是集合M中的元素．答案：①13．解析：法一：(补集法)令f－＝－2p2＋p＋1≤0，f＝－2p2－3p＋9≤0，解得p≤－3或p≥32，故满足条件的p的范围为－3，32.法二：(直接法)依题意有f(－1)0或f(1)0，即2p2－p－10或2p2＋3p－90，得－12p1或－3p32，故满足条件的p的取值范围是－3，32.5答案：－3，3214．解析：因为7＝1×7，它为7的最佳分解，所以f(7)＝17，故①正确；24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，故4×6为24的最佳分解，从而f(24)＝46＝23，故②不正确；28＝1×28＝2×14＝4×7，故4×7为28的最佳分解，从而f(28)＝47，故③正确；144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝12×12，故12×12为144的最佳分解，从而f(144)＝1，故④不正确．答案：①③15．证明：∵1b－1a1，a0∴0b1要证1＋a11－b，只需证1＋a·1－b1，只需证1＋a－b－ab1，只需证a－b－ab0即a－bab1即1b－1a1.这是已知条件，所以原不等式成立．16．解：(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，解得d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．∴(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.6∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0.∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.与p≠r矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．17．解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为bn·bn＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n0，所以bn·bn＋2b2n＋1.