【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数及其表示 理 北师大版

-1-第一节函数及其表示【考纲下载】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：A→B按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应名称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2.函数的构成要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中，(1)定义域：自变量x的取值的集合A.(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．函数概念中的“集合A、B”与映射概念中的“集合A、B”有什么区别？提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可．2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？提示：不一定．3．已知函数f(x)与g(x)．(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f(x)＝g(x)成立吗？-2-(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f(x)＝g(x)成立吗？提示：(1)不成立；(2)成立．1．下列各图形中是函数图象的是()解析：选D由函数的定义可知选项D正确．2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1解析：选A对于A，g(x)＝x2＝|x|，且定义域相同，所以A项表示同一函数；对于B、C、D，函数定义域都不相同．3．(2013·江西高考)函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：选B要使函数y＝xln(1－x)有意义，需x≥0，1－x0，即0≤x1.4．(2014·青岛模拟)设函数f(x)＝1－x2，x≤1，x2＋x－2，x1，则f1f的值为________．解析：由题易知，f(2)＝4，1f＝14，故f1f＝f14＝1－142＝1516.答案：15165．(教材习题改编)A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素32相对应的A中的元素是________．解析：当x＝60°时，y＝cos60°＝12；当x∈(0°，90°)，cosx＝32时，x＝30°.-3-答案：1230°考点一函数的定义域[例1](1)(2014·南昌模拟)函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是()A.12xxB.12xxC.112xxx且D.112xxx且(2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[自主解答](1)由题意得2x＋1≥0，2x2－x－1≠0，解得x－12且x≠1.(2)因为函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，所以－1≤x2－1≤8，故函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)D(2)[－1,8]【互动探究】本例(2)改为：f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．解：因为f(x)的定义域为[0,3]，所以0≤x2－1≤3，即1≤x2≤4，解得1≤x≤2或－2≤x≤－1，故函数y＝f(x2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．【方法规律】1．简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．抽象函数的定义域(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．1．(2014·咸阳模拟)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，则实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．2-4-解析：选D∵－2x＋a0，∴xa2，∴a2＝1，∴a＝2.2．已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．解析：由f(x)的定义域为[0,4]，得0≤x＋1≤4，0≤x－1≤4，解得1≤x≤3，即函数f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3]考点二求函数解析式[例2](1)已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)的解析式．[自主解答](1)令t＝2x＋1，则x＝12(t－1)，所以，f(t)＝412t－2＋2×12(t－1)＋1＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1.即f(x)＝x2－x＋1.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1.所以a≠0，2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，所以a＝b＝12.因此f(x)＝12x2＋12x.(3)由2f(x)＋f1x＝3x，得2f1x＋f(x)＝3x.由2fx＋f1x＝3x，2f1x＋fx＝3x，得f(x)＝2x－1x(x≠0)．【方法规律】求函数解析式的常用方法-5-(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．求下列两个函数的解析式：(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)定义在(－1,1)内，且函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．解：(1)法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式，有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．高频考点考点三分段函数1．分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对分段函数的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知分段函数解析式，求函数值(或最值)；(2)已知分段函数解析式与方程，求参数的值；(3)已知分段函数解析式，求解不等式；(4)已知分段函数解析式，判断函数的奇偶性；(5)新定义运算，分段函数与方程的交汇问题．[例3](1)(2012·江西高考)函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0-6-(2)(2014·上饶模拟)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)(3)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[自主解答](1)f(10)＝lg10＝1，f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.(2)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，又因为x≤1，所以0≤x≤1；当x1时，1－log2x≤2，解得x≥12，又因为x1，所以x1.故x的取值范围是[0，＋∞)．(3)①当1－a＜1，即a＞0时，1＋a＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－32(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，1＋a＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－34，符合题意．综上所述，a＝－34.[答案](1)B(2)D(3)－34分段函数问题的常见类型及解题策略(1)求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值．分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．(4)求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．(5)奇偶性．利用奇函数(偶函数)的定义判断．1．(2014·南平模拟)定义ab＝a×b，a×b≥0，ab，a×b0.设函数f(x)＝lnxx，则f(2)-7-＋f12＝()A．4ln2B．－4ln2C．2D．0解析：选D由题意可得f(x)＝xlnx，x≥1，lnxx，0x1，所以f(2)＋f12＝2ln2＋2ln12＝0.2．(2014·永州模拟)设Q为有理数集，函数f(x)＝1，x∈Q，－1，x∈∁RQ，g(x)＝ex－1ex＋1，则函数h(x)＝f(x)·g(x)()A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是偶函数也不是奇函数解析：选A当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈∁RQ时，－x∈∁RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上，对∀x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1－ex1＋ex＝－ex－11＋ex＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数，∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·(－g(x))＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．又因为h(1)＝f(1)·g(1)＝e－1e＋1，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×e－1－1e－1＋1＝1－e1＋e，∴h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．综上可知，h(x)是奇函数但不是偶函数．3．(2014·日照模拟)已知函数f(x)＝2x－12x，且g(x)＝fx，x≥0，f－x，x0，则函数g(x)的最小值是________．解析：因为g(x)＝2x－12x，x≥0，2－x－12－x，x0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故函数g(x)的最小值为g(0)＝20－120＝0.答案：0———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————-8-