全国中等职业技术学校通用教材数学(上)2汇总

第2章集合与函数2.1集合2.2函数的概念及性质2.3反函数2.4指数函数2.5对数函数2.1集合一个家庭一篮鲜花一次考试的科目共同点：组成它们的事物（整体的成员）是被指定的。集合的概念在数学里，我们用集合（简称集）这个概念来表示由一些指定的事物组成的整体。集合中的每个事物称为该集合的元素。通常，事物a是集合M的一个元素记作a∈M，读作a属于M；事物a不是集合M的一个元素记作aM，读作a不属于M。在数学中，由数字组成的集合称为数集、由方程或不等式的解组成的集合称为解集。把含有有限个元素的集合称为有限集。把含有无限个元素的集合称为无限集。把没有任何元素的集合称为空集，记作Ø。一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示集合表述集合名称集合符号自然数（即非负整数）的全体自然数集（非负整数集）Ｎ正整数的全体正整数集Ｎ＋整数的全体整数集Ｚ有理数的全体有理数集Ｑ实数的全体实数集Ｒ正实数的全体正实数集Ｒ＋负实数的全体负实数集Ｒ－1、将符号∈或填入空格中。7Ｎ，7.2Ｎ，11.4Ｑ，πＱ，3.7Ｚ，Ｒ。22、课本P39知识巩固1集合的表示方法列举法通过列举集合的每个元素来表示集合的方法叫做列举法。｛李明、张静、李俊、李虹｝｛数学、物理、语文、英语、机械设计、金属加工｝｛2、4、6、8｝描述法用特定条件指定集合的元素，从而表示集合的方法叫做描述法。｛x｜x是本节“导入”所举例中花束内的花｝｛x｜x＞5｝例题解析例用适当的方法表示下列集合：（1）地球上的四大洋组成的集合。单击鼠标继续例题解析（2）所有大于或等于3的整数组成的集合。单击鼠标继续例题解析（3）使分式有意义的所有x组成的集合。单击鼠标继续321x例题解析（4）一次函数的图像上所有的点组成的集合。单击鼠标继续32xy例题解析（5）所有的平行四边形组成的集合。单击鼠标继续提高练习单击鼠标继续1．用列举法表示下列集合：（1）大于3小于10的整数的全体。（2）方程2x-3=0的解集。2．用描述法表示下列集合：（1）不等式x＞2的解集。（2）大于0小于1的实数的全体。课本P41知识巩固21、（1）（2）（3）（6）集合与集合的关系通常，对于集合A和集合B，如果A的任何一个元素都是B的元素，那么两者的关系就是集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作AB（或BA）集合A包含于集合B也可说成集合A是集合B的子集。集合与集合之间还存在相等的关系。如｛x｜x2－1=0｝=｛-1，1｝｛2、4、6、8｝＝｛4、2、6、8｝例题解析例分别写出下列各题中两个集合之间的关系：（1）A＝{2、4、6}，B＝{－2、0、2、4、6、8}（2）A＝{2、－5}，B＝{x|(x＋５)(x－２)＝０}解（2）集合B的元素是方程(x＋5)(x－2)=0的解，应该是－5，2。可见，集合B的每个元素都属于集合A；反之，集合A的每一个元素都属于集合B。所以这两个集合的关系是A=B（1）因为集合A的每一个元素都是集合B的元素，而集合B的元素并不都是集合A的元素（比如0），所以两者的关系是AB单击鼠标继续用适当的符号填入空格。QR，ZＮ，a｛b、c、d｝2｛2｝｛x|x2＝9｝｛3、－3｝()、、、、区间的概念设服务员身高为x米，根据上表，这四家饭店提出的要求可表示为饭店A：1.65≤x≤1.75；饭店C：1.65≤x＜1.75；饭店B：1.65＜x＜1.75；饭店D：1.65＜x≤1.75。四家饭店（A、B、C、D）招聘女服务员对身高的要求：饭店1.65米1.75米A包括包括B不包括不包括C包括不包括D不包括包括将这四家饭店的要求推广到一般的情况。设身高的下限为a米，身高的上限为b米（a＜b），则这四种要求可表示为a≤x≤ba≤x＜ba＜x＜ba＜x≤b上述四种不等式可以对应实数x的四种集合。这四种集合都可用区间来表示，实数a和b称为相应区间的端点。我们对这四种集合的具体规定如下：除上面提到的四种集合外，符合不等式x≥a，x≤b，x＞a，x＜b的实数x的集合也可用区间表示，其表示方法与上面四种区间类似。需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处。为此，我们规定：符号“∞”表示无穷大，“+∞”表示正无穷大，“－∞”表示负无穷大。用区间的形式表示下列各集合：（1）｛x｜－5＜x≤－2｝（2）｛x|3≤x＜8｝（3）｛x｜x≥－1｝（4）｛x｜x＜5｝2.2函数的概念及性质水的高度表示体积水的上表面面积表示半径V＝15h(圆柱的体积等于底面积乘以高)h的取值范围就是[0，10]S＝πr2r的取值范围就是[4，7]函数的概念一般地，设x、y是两个变量，当x在某个数集D（即x的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确定的对应关系f，y都有唯一的值与x对应，那么我们就说x是自变量，y是变量x的函数，数集D是这个函数的定义域。通常将y是x的函数记作y＝f（x），x∈D当自变量x在定义域中取确定的值a时，它所对应的函数值记作f(a)所有函数值组成的集合叫做函数的值域。如果一个函数的定义域没有被特别指出，那么我们就认为这个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数构成的集合。例题解析例1设f(x)＝x2－2x＋3，求f(0)、f(3)、f(－3)、f(a)。解f(0)＝02－2×0＋3＝3f(3)＝32－2×3＋3＝6f(－3)＝(－3)2－2×(－3)＋3＝18f(a)＝a2－2a＋3单击鼠标继续例2求函数f(x)＝的定义域。解2x要使函数f(x)有意义，则x＋2≥0即x≥－2因此，f(x)的定义域是［－2，＋∞）单击鼠标继续1．设f(x)＝2x2－1，求：f(1)、f(－1)，f(0)、f(b)。2．求函数f(x)＝的定义域。4x函数的表示方法表示一个函数的方法有：解析法、列表法和图像法。解析法用代数式来表示两个变量间的关系表示的方法叫做解析法。如，y＝x2，y＝2x，y＝。x列表法所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，学期序号123456789101112成绩959088928783948593899496上表中，学期序号和成绩是两个变量。表中列出了不同学期序号对应的成绩。图像法所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。从图中可看出玉米单价（即每吨玉米的价格）随着时间的的变化而不断起伏；任意时刻都对应着唯一的玉米单价。所以，在这里玉米单价是时间的函数。例题解析例画出函数y＝6x（x∈(0，10]）的图像。解y＝6x是一次函数，而定义域是（0，10]，由此可知图像是一条直线段。所以只要描出函数y＝6x图像上的两个端点，然后用直尺将这两个端点连接起来即可。列表y010x060描点：描出以（0，0）为坐标的点Ａ，再描出以（10，60）为坐标的点Ｂ。连线：通过点Ａ和点Ｂ画出一条直线段。这条直线段AB就是函数y＝6x，x∈(0，10]的图像。应特别注意的是，由于图像中不包括点Ａ（０，０），因此，点Ａ用空心点表示。单击鼠标继续1．试举出一个用列表法表示函数的例子。2．画函数y＝－x＋3（x∈(－１，５)）的图像。函数的单调性观察y＝x2的图像，总结函数值随自变量取值的变化规律。1．y轴左侧，即在区间（－∞，0］上，自变量越大函数值越小。2．y轴右侧，即区间［0，＋∞）上，自变量越大函数值越大。一般地，在函数f（x）定义域内某个给定区间I上，任选两个自变量的取值x1、x2，如果当x2＞x1时，总有f（x2）＞f（x1），我们就说函数f（x）在区间I上是增函数；如果当x2＞x1时，总有f（x2）＜f（x1），我们就说函数f（x）在区间I上是减函数。如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f（x）的单调区间。单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。类型（区间I上的）增函数（区间I上的）减函数条件当x2＞x1时，有f（x2）＞f（x1）当x2＞x1时，有f（x2）＜f（x1）图像特征沿x轴正方向图像上升沿x轴正方向图像下降图例例题解析例函数y＝f（x）的定义域是[－10，10]，下图是它的图像，根据图像指出函数y＝f（x）的单调区间，以及在每一个单调区间上函数y＝f（x）是增函数还是减函数？解函数y＝f（x）的单调区间有[－10，－4)、[－4，－1)、[－1，2)、[2，8)、[8，10]。其中函数y＝f（x）在区间[－10，－4)、[－1，2)、[8，10]上是减函数；在区间[－4，－1)、[2，8)上是增函数。1．画出下列函数的草图，指出下列函数的单调区间，并判别它们在各单调区间的增减性。（1）（2）（3）（4）1()63fxx5()fxx2()6fxx2()(2)fxx2.3反函数研究水位高随体积变化的规律V＝15h（h∈[0，10]）15Vh（V∈[0，150]）反函数研究水面半径随水面面积变化的规律S＝πr2（r∈[4，7]）πSr（S∈[16π，49π]）反函数图形函数关系式自变量定义域值域V＝15hh[0，10][0，150］V[0，150][0，10]S＝πr2r[4，7][16π，9π]S[16π，49π][4，7]15VhπSr通常，在函数y＝f(x)（x∈Ｄ）中，设它的值域为Ｍ，根据该函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x＝g(y)。如果x＝g(y)（y∈Ｍ）也是一个函数，那么就把函数x＝g(y)（y∈Ｍ）叫做函数y＝f(x)（x∈Ｄ）的反函数，记作x＝f－1(y)一般情况下，将函数x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)函数y＝f(x)与函数y＝f－1(x)互为反函数。函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域。例题解析例求下列函数的反函数，并画出题（1）中函数和反函数的图像，观察它们的对称性。（1）y＝2x－1（x∈R）（2）y＝x2－1（x≥０）（3）（x≠1）解21xyx（1）由y＝2x－1，解得，所以，函数y＝2x－1的反函数是12yx12xy（x∈R）通过描点法可画出函数图像。（2）由y＝x2－1（x≥０），解得x2=y＋1由此推出1xy这里，一定有y+1≥０，从而推出y≥－1。所以，函数y＝x2－1（x≥０）的反函数是（x≥－1）1yx（3）解得，所以所求反函数为（x≠2）2yxy2xyx单击鼠标继续一般地，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝f（x）的图像和它的反函数y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称。1．求函数y＝2x＋4（x∈R）的反函数，并且在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x＋4（x∈R）和它的反函数的图像。2．求下列函数的反函数：（1）（x∈R）（2）132yx13()232xyxx2.4指数函数细胞分裂的个数某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成两个细胞。一个这样的细胞经过x次分裂后，得到y个与它本身相同的细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的关系是怎样的呢？关于细胞分裂问题，分析如下：初始细胞个数是1，此时经过的分裂次数是0，即20＝1个；经过第1次分裂后细胞的总数是21＝2个；经过第2次分裂后细胞的总数是22＝4个；经过第3次分裂后细胞的总数是23＝8个；经过第4次分裂后细胞的总数是24＝16个；……经过第x次分裂后细胞的总数是个2x。设细胞总数为y，有y＝2x。一般地，我们把形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数叫做指数函数。由实数指数幂的运算性质可知：当a＞0时，对于每一个实数x的值，都有唯一确定的实数值ax与它对应。因此，指数函数y＝ax的定义域是实数集Ｒ。两函数相同的性质有：1．两个图像都在x轴上方，即值域都是Ｒ＋。2．两个图像都经过点（0，1），可见当x＝0时，对这两个函数都有y＝1。两函数不同的性质：函数y＝2x的图像沿x增大的方向是上升的，所以它在（－∞，＋∞）上是增函数；函数的图像沿x增大的方向是下降的，所以它在（－∞，＋∞）上是减函数。1()2xy