概率统计4.1

例如考察某型号电视机的质量：平均寿命18000小时±200小时.考察一射手的水平:既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写§4.1随机变量的数学期望X8910次数103060Y8910次数205030例.,100：乙击中的环数：甲击中的环数下：次，他们的射击结果如甲、乙两人各射击YX平较高？试问哪一个人的射击水为甲、乙的平均环数可写5.96.0103.091.0810060103091081.93.0105.092.081003010509208的好．，甲的射击水平要比乙因此，从平均环数上看5.96.0103.091.08EX1.93.0105.092.08EYX8910P0.10.30.6Y8910P0.20.50.3用分布列表示设X为离散r.v.其分布列为,2,1,)(kpxXPkk若无穷级数1kkkpx其和为X的数学期望，记作E(X),即1)(kkkpxXE1.数学期望的定义绝对收敛,则称定义1设连续r.v.X的d.f.为)(xf若广义积分dxxxf)(绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即dxxxfXE)()(定义25.96.0103.091.08EX1.93.0105.092.08EYX8910P0.10.30.6Y8910P0.20.50.3前例例X~B(n,p),求E(X).解nkknkknppkCXE0)1()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1()!()!1()!1(10)1(1)1(nkknkknppCnpnp特例若X~B(1,p),则E(X)p例X~P(λ),求E(X).)(~PX,0,,2,1,0,!)(kekkXPk00!)(kkkkekkkpXE11)!1(kkke0!kkkeee,0()0,0xexfxx0)(dxexXEx例X~E(λ),求E(X).]|[00dxexexx1|10xe例X~N(,2),求E(X).解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令常见分布的数学期望分布期望概率分布0-1分布pXPpXP1)0()1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn,,2,1,0)1()(npP(),2,1,0!)(kkekXPk分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它,0,,1)(bxaabxf2baE()其它,0,0,)(xexfx1N(,2)222)(21)(xexf注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为xxxf,)1(1)(2dxxxdxxfx)1(||)(||2但发散它的数学期望不存在!为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：(1)分别化验每个人的血,共需化验n次；(2)分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择应用解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.设每人需化验的次数为X，则11()1[11]11(1)kkkkEXppkkpkkp1kp11XPk1kk1例如:411000()100010.95941000.4EX,4,1.0,1000kpn当时,选择方案(2)较经济.kpk/1)1(.1)(,XEp很小时当510150.51.01.52.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是:因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.是否可以不求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.设离散r.v.X的概率分布为,2,1,)(ipxXPii若无穷级数1)(iiipxg绝对收敛，则1)()(iiipxgYE(1)Y=g(X)的数学期望设连续r.v.X的d.f.为f(x)dxxfxg)()(绝对收敛,则dxxfxgYE)()()(若广义积分设离散r.v.(X,Y)的概率分布为,2,1,,),(jipyYxXPijji1,),(jiijjipyxg绝对收敛,则1,),()(jiijjipyxgZE若级数(2)Z=g(X,Y)的数学期望设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛,则dxdyyxfyxgZE),(),()(若广义积分4.13X-202P0.40.30.3例设随机变量X的分布律为)53(2XE求3.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222XE0,00,)(xxexfx022)()(exeedxxfeYExxx310313xe例设随机变量X的概率密度为求Y=e－2X的数学期望.YX1210.250.3220.080.35例设随机变量(X,Y)的分布律为)(2YXE求)(2YXE96.335.0)22(08.0)12(32.0)21(25.0)11(2222EX=0101312),(xdyxdxdxdyyxxfE(-3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdxEXY=01011212),(xydyxdxdxdyyxxyf其它；,0),(,2),(Ayxyxf解0xy01yx例设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域.求EX，E(-3X+2Y)，EXY.市场上对某种产品每年需求量为X台，X~U[200,400],每出售一台可赚300元,售不出去，则每台需保管费100元，问应该组织多少货源,才能使平均利润最大？解其它,0,400200,2001)(xxfX设组织n台货源,利润为Y显然，200n400应用xnnxxnnxg,4,,3)(XnXnXXnnXgY),(3,,3)(dxxfxgYEX)()()(4002001[(4)3]200nnxndxndx)10814002(200142nn)14004(2001)(ndnYdE0令故n=350时,E(Y)最大n=3503.数学期望的性质(1)设C是常数，则E(C)=C;(4)设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).(2)若C是常数，则E(CX)=CE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立niiniiXEXE11)(][:推广niiniiXEXE11)(][:推广（诸Xi独立时）._____232EZXZX的数学期望则随机变量的泊松分布，服从参数为已知随机变量例423)23(,22.EXXEEZEXX所以则的泊松分布，服从参数为由于变量线性函数的期望数学期望的性质求随机的有关特征，并会利用本题要求熟悉泊松分布例求二项分布的数学期望若X表示n重贝努里试验中的“成功”次数X~B(n,p)，设则X=X1+X2+…+Xn次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，…，n可见服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.=np因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-pniiXE1)(所以E(X)=E(Xi)=)1(01pp=p例设二维r.v.(X,Y)的d.f.为其它,0,10,20),31(41),(2yxyxyxf求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY).解dxdyyxxfXE),()(20102)31(41dyyxdxx3424478534)()()(YEXEYXE)(XYE658534由数学期望性质X,Y独立)()(YEXEdxdyyxyfYE),()(20102)31(41dyyyxdx85一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。求EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。解：设站有人下车第站没人下车第iiXi,1,0，10,,2,1i，例易见101XXX，101iiEXEX，20)10/9(}0{iXP，20)10/9(1}1{iXP，10,,1i，20)10/9(1iEX，10,,1i，)(784.8])10/9(1[1020次EX。