概率论与数理统计(假设检验的思想方法和基本概念)

第8章假设检验8.1假设检验的思想方法和基本概念8.2正态总体的参数检验8.3总体分布的假设检验第8章假设检验参数常用在人们对总体参数的真值一无所知时．在实际应用中，对总体参数的真值预先有所了解，或根据经验对总体参数的真值提出了假设，常用假设检验方法解决的问题．假设检验是另一大类统计推断问题，具体方法是先假设总体具有某种特征,然后再通过对样本数据的加工，推断出假设的结论是否合理．对样本数据的加工就是构造统计量,并计算统计量的观测值.假设检验方法所依据的一个重要原理:“小概率原理”，或叫做“实际推断原理”，即“小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的”．第8章假设检验8.1假设检验的思想方法和基本概念8.1.1假设检验的思想方法先看一个简单的问题．【例8.1】某厂家向一家百货商店长期供应某种货物，双方根据厂家的传统生产水平，定出质量标准，即若次品率超过3%，则百货商店拒收该批货物.今有一批货物，随机抽50件检验，发现有次品4件，问应如何处理这批货物？如果双方商定用点估计方法作为验收方法，显然4/503%，这批货物是要被拒收的．但是厂家可能反对用这种方法验收．第8章假设检验厂家认为，由于抽样是随机的，在这次抽样中，次品的频率超过3%，不等于说这批产品的次品率p（概率）真的超过了3%．就如同说掷一枚硬币，正反两面出现的概率各为1/2，但若掷两次硬币，不见得正、反面正好各出现一次一样．8.1.1假设检验的思想方法如果百货商店也希望在维护自己利益的前提下，不轻易地失去一个货源，也会同意采用别的更合理的方法．具体来说就是先假设次品率p3%，然后根据抽样的结果来说明p3%这一假设是否合理．对于这类问题，通常就是采用假设检验的方法．8.1.1假设检验的思想方法假设p3%，用X表示随机抽取n件产品中的次品数.则X～B(n，p)．随机抽50件检验,发现有次品4件的概率应不超过这说明，“随机抽50件检验，发现有次品4件”是一个小概率事件，根据“小概率原理”，在一次试验中它是不应该发生的，而现在它却发生了!原因是p3%的假设出了问题，应该否定（或拒绝）p3%的假设．即有理由认为这批货物的次品率超过3%，百货商店可以拒收该批货物．046.0)03.01(03.0464450C8.1.1假设检验的思想方法根据上例可以看到假设检验的思想方法是：(1)提出假设；(2)在假设成立的条件下构造一个小概率事件；(3)由样本数据判断小概率事件是否发生了，如果小概率事件发生了，根据“小概率原理”，作出否定原假设的推断．8.1.1假设检验的思想方法再考察下面的例子．【例8.2】一台包装机包装洗衣粉，额定标准重量为500ｇ，根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态N(，2)，其中=15g通常不会变化为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得洗衣粉净重数据如下（单位：g）：497506518524488517510515516问这台包装机工作是否正常？通过分析知道:要检验包装机工作是否正常，就是要检验总体均值=500是否成立．8.1.1假设检验的思想方法具体思路是:首先提出两个对立的假设：H0：=500H1：500然后，根据对样本数据的加工分析，对两个假设的正确与否作出推断．8.1.1假设检验的思想方法下面就类似上面问题给出一般方法、步骤和有关概念:设X～N(,2),2已知,X1,X2,…,Xn为来自X的样本，x1,x2,…,xn为样本观测值第一步：首先提出两个对立的假设H0：=0H1：0然后，根据对样本数据的加工分析，对两个假设作出判断，否定(拒绝)两个假设中的一个，就意味着对另一个的认可(接受)．称H0为原假设(零假设),H1为备选假设(备择假设)8.1.1假设检验的思想方法第二步:在原假设成立的情况下，构造一个小概率事件.多小的概率才算小概率呢？没有一个绝对的标准，只能相对而言，或根据具体问题确定．一般用（01）表示小概率常取0.05，0.01，0.1等．称为显著水平．8.1.1假设检验的思想方法由于H0为真时X～N(0，2)，所以对于给定的小概率，由图8-1易知即是小概率事件．)1,0(~/0NnXZ20/znXP20/znX8.1.1假设检验的思想方法第三步:加工样本数据,作出推断.若x1,x2,…,xn使成立．说明小概率事件发生了这时应拒绝H0，接受H1；若不成立，小概率事件没有发生，没有足够的理由拒绝H0，应认可H0．20/znx这违背了小概率原理,原因是原假设出了问题20/znx8.1.1假设检验的思想方法看来,是否拒绝H0的关键是看的取值是否满足因此称即{|z|z/2}称为H0的拒绝域.称–z/2和z/2为H0的拒绝域的临界点（值）．称为检验统计量．由于拒绝域在数轴的两端，称这种检验为双边检验．20/znxnXZ/020/||znxznXZ/020/znx8.1.1假设检验的思想方法现在回到例8.2中:洗衣粉净重数据如下：问这台包装机工作是否正常？497506518524488517510515516解:假设H0：=500H1：500若取显著水平=0.05，则H0的拒绝域为:={|z|z0.025}={|z|1.96}由样本数据计算得到z=2.02落入了H0的拒绝域,应拒绝H0,认为包装机不正常.20/||znxznxz/002.29/155009/)516515510517488524518506497(8.1.1假设检验的思想方法继续上面的问题，如果想进一步判断当天包装机包装的洗衣粉的平均重量和500g相比，哪个更大一些，可以做下面两种类型的检验：右边检验：H0:0H1:0或者左边检验：H0:0H1:0右边检验和左边检验统称为单边检验．8.1.1假设检验的思想方法下面分别推出这两种检验的拒绝域：(1)右边检验：H0:0H1:0由于X～N(,2)，所以对于给定的小概率,由图8-2易知当原假设成立时，由于，所以即是小概率事件)1,0(~/NnXZznXP/nXnX//0znXP/0znX/08.1.1假设检验的思想方法由于当原假设成立时，是小概率事件,因此，选择做检验统计量,得到H0的拒绝域为：由于拒绝域在数轴的右端,故称此检验为右边检验.znX/0nXZ/0znxz/08.1.1假设检验的思想方法(2)左边检验：H0:0H1:0由于X～N(,2)，所以对于给定的小概率,由图8-3知当原假设成立时，由于所以即是小概率事件.)1,0(~/NnXZ,/znXPznX/0,//0nXnX,/0znXP8.1.1假设检验的思想方法由于当原假设成立时，是小概率事件,因此，仍然可以选择做检验统计量得到H0的拒绝域为由于拒绝域在数轴的左端,故称此检验为左边检验.znX/0nXZ/0znxz/08.1.1假设检验的思想方法现在我们再次回到包装机包装洗衣粉的问题上洗衣粉净重数据如下：问袋装洗衣粉的平均重量是否大于500?497506518524488517510515516在显著水平=0.05下做右边检验：H0:500H1:500由于H0拒绝域为即{z1.645}，而检验统计量的观测值z=2.02落入了拒绝域，因此，在=0.05的显著水平下，应拒绝H0，可以认为袋装洗衣粉的平均重量是大于500.05.00/znxz8.1.1假设检验的思想方法8.1.2假设检验的两类错误假设检验依据“小概率原理”决定是接受H0或拒绝H0．“小概率原理”只是在概率意义下成立，不能说小概率事件在一次试验中绝对不可能发生．因此，假设检验问题可能会犯如下两类错误：第一类错误(“弃真”):实际情况是H0成立，而检验的结果表明H0不成立，拒绝了H0.第二类错误(“存伪”):实际情况是H0不成立，H1成立，而检验的结果表明H0成立，接受了H0.下面我们来研究一下犯这两类错误的概率．犯第一类错误的概率：P{弃真}=P{拒绝了H0|H0为真}=P{检验统计量落入拒绝域|H0为真}犯第二类错误的概率：P{存伪}=P{接受了H0|H0为假}=P{检验统计量未落入拒绝域|H0为假}=所以，假设检验时拒绝原假设具有实际意义，其结果应受到充分的重视；不能拒绝原假设时，必须根据其他信息才能作出较为准确的判断．8.1.2假设检验的两类错误自己先取定的,可以控制!不容易计算，不能控制!进行一个检验，最理想的当然是犯两类错误的概率都尽可能的小.但是一般来说，在样本容量n一定的情况下，要使两者都达到最小是不可能的.减少犯某一类错误的概率，往往导致犯另一类错误的概率增大．要想使犯两类错误的概率都减小，只有靠增加样本容量才能做到．8.1.2假设检验的两类错误实际应用中，常将以往的经验性结论作为原假设，与其相反的结论作为备选假设．这样，原假设不会被轻易拒绝，一旦结果为拒绝原假设，其结果也是可以信赖的，而且我们还知道此时犯第一类错误的概率不超过；如果结果为不能拒绝原假设，考虑到原假设为以往的经验，做出接受原假设的推断也是比较合理的．8.1.2假设检验的两类错误