第16讲不等式分析

第十六讲:不等式分析1第十六讲:不等式分析杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：[phone]）不等式是现代初等数学研究的中心,也是高考、自招和联赛的热点.不等式问题主要分为三类:解不等式、证不等式和不等式应用.本讲仅研究:简单不等式的解法、简单的均值不等式、柯西不等式和不等式恒成立问题.Ⅰ.知识拓展1.均值不等式:⑴二元均值不等式:当a0,b0时,ba112≤ab≤2ba≤222ba,等号当且仅当a=b时成立,其中ba11≥ba4称为调和不等式;⑵三元均值不等式:①当a+b+c≥0时,a3+b3+c3≥3abc,等号当且仅当a+b+c=0,或a=b=c时成立;②当a0,b0,c0时,3cba≥3abc,等号当且仅当a=b=c时成立;③当a0,b0,c0时,cba1113≤3abc≤3cba≤3222cba,等号当且仅当a=b=c时成立;⑶n元均值不等式:当ai0(i=1,2,…,n)时,naaan11121(调和平均数)≤nnaaa21(几何平均数)≤naaan21(算朮平均数)≤naaan22221(方幂平均数),等号当且仅当a1=a2=…=an时成立;2.柯西不等式:⑴基本形式C0:当ai,bi∈R(i=1,2,…,n)时,(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时成立;⑵变形式C1:当ai,bi∈R+(i=1,2,…,n)时,(a1b1+a2b2+…+anbn)(11ba+22ba+…+nnba)≥(a1+a2+…+an)2,等号当且仅当b1=b2=…=bn时成立;⑶变形式C2:当ai∈R+,bi∈R(i=1,2,…,n)时,(a1+a2+…+an)(121ab+222ab+…+nnab2)≥(b1+b2+…+bn)2,等号当且仅当a1:|b1|=a2:|b2|=…=an:|bn|时成立.3.恒成立问题:不等式恒成立问题是不等式的特殊问题,解决恒成立问题的根本出发点是:认清不等式F(x,a)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题.⑴等价转化法:不等式f(x)≥m恒成立f(x)min≥m;不等式f(x)≤M恒成立f(x)max≤M;⑵分离参数法:不等式F(x,a)≥0恒成立,求参数a的取值范围.首先对不等式F(x,a)≥0进行等价变形,使得F(X,a)≥0f(x)≥(≤)g(a),然后通过求不含参数a的函数f(x)的最值,解决问题;⑶函数分析法:①函数f(x)=ax+b,则当x∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立0)(0)(nfmf;当x∈[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立0)(0)(nfmf;②f(x)≥g(x)恒成立函数y=f(x)的图像不在函数y=g(x)的图像的下方;③如果函数f(x)在[m,n]内是凸函数,则当x∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立0)(0)(nfmf;如果函数f(x)在[m,n]内是凹函数,则当x∈2第十六讲:不等式分析[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立0)(0)(nfmf.Ⅱ.归类分析1.解不等式:[例1]:(2001年复旦大学保送生考试试题)不等式[log2(-x)]2≥log2x2的解集是.[解析]:[log2(-x)]2≥log2x2[log2(-x)]2≥2log2(-x)log2(-x)[log2(-x)-2]≥0log2(-x)≤0,或log2(-x)≥20-x≤1,或-x≥4x∈(-∞,-4]∪[-1,0).[练习1]:1.①(2007年武汉大学保送生考试试题)不等式x1≤1的解集为()(A)(1,+∞)(B)[1,+∞)(C)(-∞,0)∪[1,+∞)(D)(-∞,0)∪(1,+∞)②(《中等数学》.2009年第6期.数学奥林匹克高中训练题(17))已知函数f(x)=x|1-x|(x∈R),则不等式f(x)41的解集为.③(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)若函数f(x)=logx(a0,且a≠1)满足f(a2)f(a3),则f(1-x1)l的解集是(A)0xa1(B)0xa11(C)1xa1(D)1xa112.①(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=521x+lgxx11,则不等式f[x(x-21)]51的解集为.②(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)不等式log6(1+x)log25x的整数解的个数为.③(《中等数学》.2012年第4期.数学奥林匹克高中训练题(152))不等式log14(x+3x+6x)log64x的解集是.2.不等式解:[例2]:(2009年上海交通大学保送生考试试题)已知不等式组2752315222axxaxx有唯一解,则a=.[解析]:不等式组2752315222axxaxx有唯一解方程x2+2ax+5=27有等根△=2a2-6=0a=3.[练习2]:1.①(2002年上海交通大学保送生考试试题)若不等式0≤x2+ax+5≤4只有唯一实数解,则a=.②(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知不等式ax2)21(4-x的解集是(-2,4),那么实数a的值是.③(2012年全国高中数学联赛试题(B卷))若关于x的不等式组012033233axxxxx的整数解有且仅有一个,则实数a的取值范围是.2.①(2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)若不等式x2+|x-a|2至少有一个负解,则参数a的取值范围是()(A)(-45,2)(B)(-47,2)(C)(-49,2)(D)(-47,3)②(2012年全国高中数学联赛福建初赛试题)若关于x的不等式2x+3x-k6x≥0在区间[1,2]上有解,则k的最大值为,②(《中等数学》.2006年第1期.数学奥林匹克高中训练题(84))若实数a使得关于x的不等式x11≥a1xx总有非零实数解,则实数a的取值范围是.第十六讲:不等式分析33.均值不等式:[例3]:(2011年复旦大学保送生考试试题)设n是一个正整数,则函数x+nnx1在正半实轴上的最小值是()(A)nn1(B)12nn(C)nn1(D)1nn[解析]:x+nnx1=nx+nx+…+nx+nnx1≥(n+1)11nnnxnxnxnx=nn1.故选(C).[练习3]:1.①(2008年南开大学保送生考试试题)已知正数a、b、c满足:a2+ab+ac+bc=6+25,则3a+b+2c的最小值是.②(2009年复旦大学保送生考试试题)设a、b、c≠0,abc,bca,cab成等差数列,则下列一定成立的是()(A)|b|≤|ac|(B)b2≥|ac|(C)a2≤b2≤c2(D)|b|≤2||||ca③(2008年南开大学保送生考试试题)已知实数a、b满足2b2-a2=4,则|a-2b|的最小值为.2.①(2001年上海交通大学保送生考试试题)x∈R+,求f(x)=333666)1(2)()1(xxxxxxxx的最小值.②(2012年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)实数x、y、z满足x2+y2+z2=1,则xy+yz的最大值为.③(2009年复旦大学保送生考试试题)设x、y、z满足xyz+y+z=12,则log4x+log2y+log2z的最大值是()(A)3(B)4(C)5(D)64.柯西不等式:[例4]:(2007年复旦大学保送生考试试题)当a和b取遍所有实数时,函数f(a,b)=(a+5-3|cosb|)2+(a-2|sinb|)2所能取到的最小值是()(A)1(B)2(C)3(D)4[解析]:由柯西不等式C0:f(a,b)=(a+5-3|cosb|)2+(a-2|sinb|)2=21(12+12)[(a+5-3|cosb|)2+(2|sinb|-a)2]≥21[(a+5-3|cosb|)+(2|sinb|-a)]2=21(5-3|cosb|+2|sinb|)2≥21(5-3)2=2,等号当且仅当a=-1,b=0时成立.故选(B).[练习4]:1.①(2003年上海交通大学保送生考试试题)已知x、y∈R+,x+2y=1,则x2+y2的最小值为.②(2009年华南理工保送生考试数学试题)已知a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值为()(A)-22(B)-335(C)-3(D)-27③(2004年复旦大学保送生考试试题)椭圆162x+92y=1内接矩形周长的最大值是.2.①(2007年复旦大学保送生考试试题)给定正整数n和正常数a,对于满足条件a12+an+12≤a的所有等差数列a1,a2,a3….和式121nniia的最大值为()(A)210a(n+1)(B)210an(C)25a(n+1)(D)25an②(2003年上海交通大学保送生考试试题)若x、y、z0,且x2+y2+z2=1,则21x+21y+21z的最小值为.③(2012年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数a、b、c满足a+b+c=a2+b2+c2,则a+b+c的最大值是.4第十六讲:不等式分析5.取等的条件:[例5]:(2005年上海交通大学保送生考试试题)方程x2-px-221p=0的两根x1、x2满足x14+x24≤2+2,则p=(p∈R).[解析]:由x12-px1-221p=0x12=px1+221px14=(px1+221p)2=p2x12+p1x1+441p=p2(px1+221p)+p1x1+441p=(p3+p1)x1+21+441p,同理可得:x24=(p3+p1)x1+21+441px14+x24=(p3+p1)(x1+x2)+1+421p=p4+2+421p;所以,x14+x24≤2+2p4+2+421p≤2+2p4+421p≤2,但p4+421p≥2等号当且仅当p4=421p时成立p=821.[练习5]:1.①(2005年上海交通大学保送生考试试题)若a、b满足关系:a21b+b21a=1,则a2+b2=.②(2008年同济大学保送生考试数学试题)解方程组:39246849222zyxzyx.③(2011年全国高中数学联赛试题)设a,b为正实数,ba11≤22,(a-b)2=4(ab)3,则logab=.2.①(1990年全国高中数学联赛试题)点集{(x,y)|lg(x3+31y3+91)=lgx+lgy}中元素的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)多于2②(1996年全国高中数学联赛试题)如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+21x在同一点取相同的最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是.③(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a1,a2,…,an均为正实数,且满足a1+a2+…+an=1,11a+21a+…+na1=4,则a1a2…an值是.6.不等式应用:[例6]:(2011年“华约”自主招生试题)如图,已知△ABC的面积为2,AD、E分别为边AB、边AC上的点,F为线段DE上一点,设ABAD=x,ACAE=y,DDEDF=z,且y+z-x=1,则△BDF面积的最大值为()E(A)278(B)2710(C)2714(D)2716BC[解析]:S△BDF=zS△BDE=z(S△ABC-S△BCE-S△ADE)=z(S△ABC-(1-y)S△ABC-xyS△ABC)=2z(y-xy)=2yz(1-x)≤2[3)1(xzy]3=2716,等号当且仅当y=z=1-x,且y+z-x=1,即x=31,y=z=32时成立△BDF面积的最大值为2716,故选(D).[练习