8.3同态与同构

§2同态和同构不同的代数系统形式不同，但可能有相同的性质(如下)。本节就研究看似不同的代数系统之间的联系。○12112221◎abaabbbaV1=({1,2},○)和V2=({a,b},◎),容易看出可以建立f:{1,2}{a,b}的映射，f(1)=a,f(2)=b,则V1和V2是同一个系统。同态：设V1=(G，※)和V2=(S，ο)是两个代数系统,※和ο分别是G和S上的二元运算,设f是从G到S上的一个映射，且对a,bG,有f(a※b)=f(a)οf(b)，则称f为从V1到V2的一个同态映射，简称为同态。a※bf(a)οf(b)abV1=(G，※)V2=(S，ο)f(a)f(b)同态式f(a※b)=f(a)οf(b)广义的同态设V1=(G,※1,※2,…,※n)和V2=(S,△1,△2,…,△n)是两个同型的代数系统,设f是从G到S上的一个映射，且对所有的运算对※i，△i(i=1,2,…,n),有①若※i，△i是一元运算，则aG,有f(※ia)=△if(a)；②若※i，△i是二元运算，则a,bG,有f(a※ib)=f(a)△if(b)；③若※i，△i是三元运算，则a,b,cG,有f(※i(a,b,c))=△i(f(a),f(b),f(c))；………则称f为从V1到V2的一个同态映射，简称为同态,并G和S同态，记作G∽S。概括地说，对任何的运算对※i，△i，若其为m元运算，则在G和S中取m个元素a1,a2,….,am,使得运算的象等于象的运算。※i(a1,a2,….am)△i(f(a1),f(a2),….,f(am))a1a2(G,※i)(S,△i)am……f(a1)f(a2)f(am)……设f为从V1到V2的一个同态映射：①如果f是单射，则称f是从V1到V2的单同态，并称V1与V2是单同态；②如果f是满射，则称f是从V1到V2的满同态，并称V1与V2是满同态；③如果f是双射，则称f是从V1到V2的同构，并称V1与V2是同构，记为V1≌V2;④如果V1=V2＝V，h是从V到V的同态(同构)）函数，称f是V的自同态(自同构)。例1：(Z,+)和(Zn,+n)是两个代数系统，其中+n是模n加法Zn={0,1,2,…,n-1},令映射f:ZZn,f(x)=(x)(modn),则f是(Z,+),则(Zn,+n)的满同态。证明：因x,yZ,有f(x+y)=(x+y)(modn)=x(modn)+ny(modn)=f(x)+nf(y)满足同态映射的条件，同时映射f是满射，但不是单射因而是满同态。-12,-6,0,6,12,…-11,-5,1,7,13,…-10,-4,2,8,14,…-9,-3,3,9,15,…-8,-2,4,10,16,…-7,-1,5,11,17,…012345设n=6，Z6＝{0,1,2,3,4,5}例2：R+,×,1和R,+,0是同态的；证明：构造映射f:R+R,xR+，f(x)=ln(x)，则x,yR+，f(x×y)=ln(xy)=ln(x)+ln(y)=f(x)+f(y)例3：(一元运算)A={2,-2,1,-1}，B={4,1/4,2,1/2}，V1＝A,*，V2=B,ο，x∈A，有*x=－x，y∈B，有οy=1/y。则V1和V2是同态的。证明：构造映射f:AB,如下：V1=(A，*)V2=(B，ο)-21/42412-11/2例4：V1＝Z,＋，V2=M,＋，＋是普通的加法。M={m|m=ir,i∈Z,r是某一正整数}，f:ZM,j∈Z，f(j)=jr，则f是从V1到V2的同态映射。显然i,j∈Z，有f(i+j)=(i+j)r=ir+jr=f(i)+f(j)。⑴如果r=±1，则M=Z，j∈Z，f(j)=±j，此时f是同构映射；⑵如果r=0，则M={0}，j∈Z，f(j)=0，此时f是零同态；⑶其他情况下，f是单射的，f是单同态。例5：V1＝Z,＋,×，V2=N6,＋6,×6，V1和V2是满同态的。例6:A,×和B,+4，A={a,b,c,d},B={0,1,2,3},×和＋4分别如下，则A,×和B,+4是同构的。×abcdaabcdbbcdaccdabddabc＋4012300123112302230133012例6：V=Z,+，给定a∈Z，令фa：ZZ，фa(x)=ax，则фa是V到V的自同态。同态同构的作用设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。设V1=A，*，△，V2=B，○，⊙是具有两个二元运算的代数系统，f是V1到V2的同态，则有如果*（或△）是可交换的（可结合的或等幂的），则○（或⊙)在f(A)中也是可交换的（可结合的或幂等的）如果*对△是可分配的，则○对⊙在f(A)中也是可分配的。如果*对△是可吸收的，则○和⊙在f(A)中也是可吸收的。如果e是A中关于*运算的单位元，θ是A中关于*运算的零元，则f(e)和f(θ)分别是f(A)中关于○运算的单位元和零元