南昌大学-2009-2010历年数学物理方法ABC三卷(附全部答案)

第1页共34页南昌大学2009～2010学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032(A)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系08各专业姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分484012100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题4分，共48分)得分评阅人1.设i为虚数单位，复数)2/(21ii__;)31ln(i。2.设i为虚数单位，且x和y为实数，复变函数iyxzf)(__(填“是”或“不是”)可导的，理由是3.22yx是否有可能为某解析函数)(zf的实部？答：__(填“有可能”或“不可能”)，理由是4.120102)]3()tan(sin)1[(dxxxx。5.根据柯西公式，积分dzzezz3|2008|200920106.函数43)(22zzzzzf有________个极点，为__________阶极点；在极点处的留数为________________________。第2页共34页7.当,2||1z试以原点为中心将2312zz做级数展开为8.)1|(|0)01(1)10(1)(ttttf的傅里叶变换为。9.ttet21的拉普拉斯变换为。10.数学物理方程如果没给定解条件，一般会有__________个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的____________，____________，__________。11.一根两端(左端为坐标原点而右端lx）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移),(txu的初始条件为。12.偏微分方程0937542xyuuuuuyxyyxyxx的类型为(备选答案：A.双曲型B.抛物型C.椭圆型D.混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为。二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分3|2|)4)(2(zzzzdzI。第3页共34页2.用留数定理计算实积分29cosdxxxI。3.可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下列常微分方程初值问题.2)0(',1)0(,2322yyeydtdydtydt已知拉普拉斯变换1!][nstnspnetL，1!][nnpntL。第4页共34页4.设)(xX满足方程0XX和边界条件0)2/()0('XX，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。第5页共34页三、数学物理定解问题(共12分)1.考查无限长弦定解问题：tuuxxttcos4)0(t，且初始条件为xutsin0，00ttu。先寻找泛定方程的一个特解,v再作变换,wvu使得w的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。第6页共34页南昌大学2009～2010学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032(B)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系08级姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分364024100得分考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共36分)得分评阅人说明：两个空的小题，第一个空2分，第二个空1分。1.复数i，)ln(i。2.若解析函数),(),()(yxivyxuzf的实部xyyxyxu22),(，则虚部),(yxv____________________________，若yxyxu),(，则虚部为___________。3.已知，l为任一回路，n为任一整数，α不在l上，则lndzz)(。4.在10z的环域上，函数)1(1)(zzzf的洛朗级数展开为___________________________________________________________________。5.11)2(xsinxdxx。第7页共34页6.函数zezf/1)(在0z的奇点类型为，其留数为。7.孤立奇点可分为三类，分别为。8.函数)1|(|0)1|(|)(ttttf的傅里叶变换为。9.tte1的拉普拉斯变换为。10.一根两端(左端为坐标原点而右端lx）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移),(txu的初始条件为。11.数学物理方程定解问题的适定性是指解的____________，____________，__________。12.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。（1）若函数)(zf在z点解析，则函数)(zf在z点可导。（）（2）uyxuxuyuuuyyyxxy2362是二阶线性齐次偏微分方程。（）（3）若函数)(zf在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线l，都有ldzzf0)(。（）二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分2|2|2)2)(1(zzzzdzI第8页共34页2.用留数定理计算实积分242cosdxxx。第9页共34页3.用拉普拉斯变换求解2)0(1)0(,1zyezdtdyzydtdzdtdyt已知1!][nstnspnet，1!][nnpnt。4.试给出偏微分方程0139678uuuuuuyxyyxyxx的特征方程，并判断其类型，然后求解特征方程，最后给出能使方程化为标准形的自变量变换（注意：不必写出标准形）。第10页共34页三、偏微分方程求解题(共24分)得分评阅人1.试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程0xxttuu，初始条件为xxuutttsin,000。(本小题10分)第11页共34页2.(1)已知矩形区域yx0,0上的拉普拉斯方程;0|,0|);0,0(,00xxyyxxuuyxuu分离变量)()(),(yYxXyxu，导出)(xX和)(yY满足的方程，以及)(xX的边界条件，由此得到)(xX的本征值问题并求解，然后利用所求得的本征值求解)(yY，最后证明nxeBeAyxunnynnynsin)(),(1，其中nA和nB是只与n有关的待定系数。(9分)(2)利用(1)的结果求解泊松方程.cossin1|,1|;cos||);0,0(cos00xxuuyuuyxyuuyyxxyyxx提示：寻找泛定方程的一个特解,v使得经变换wvu后所得w的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分)第12页共34页（此页非草稿纸，请勿撕下！）第13页共34页南昌大学2009～2010学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032(C)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系08级姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分3070100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。二、解答题(本题满分30分)得分评阅人1.关于复变函数),(),()(yxivyxuzf(注意),(yxu和),(yxv分别是x与y的二元实函数，而i为虚数单位)，试解答:(18分)(1)在点z0可导的定义；(2)可导的必要充分条件；(3)在点z0解析的定义；(4)在区域B上解析的定义；(5)在一点可导与解析的关系；(6)在区域上可导与解析的关系。第14页共34页2.已知|1|2ie，求（0）。（12分）第15页共34页二、计算题(本题满分70分)得分评阅人1.用留数定理计算dzizzzC)5)(1(12，其中C为以原点为圆心，半径为3的圆周3||z。（20分）2.已知)(ty和)(tz为t的函数，且0t。若)(ty和)(tz满足3)0(1)0(,6)()(3)(6)()()(22zyetztydttdzetztydttdytt。试用拉普拉斯变换求解)(ty和)(tz。注意：1!][nstnspnet，spest1][，1!][nnpnt，p1]1[，其中n为非负整数，s为任一常数。（15分）第16页共34页3.设)(xX满足方程0XX和边界条件0)()0(lXX，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。（20分）第17页共34页4.已原点00z为展开中心，在原点00z的邻域上，将函数zzezf)(展开为泰勒级数。（15分）第18页共34页南昌大学2009～2010学年第二学期期末考试试卷参考答案与评分标准试卷编号：6032(A)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系08各专业姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分484012100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题4分，共48分)得分评阅人1.设i为虚数单位，复数)2/(21ii(-4+3i)/5;)31ln(i),1,0()32(2lnkik。(2+2=4分)2.设i为虚数单位，且x和y为实数，复变函数iyxzf)(__不是(填“是”或“不是”)可导的，理由是不满足柯西-黎曼条件(2+2=4分)3.22yx是否有可能为某解析函数)(zf的实部？答：__有可能(填“有可能”或“不可能”)，理由是它为调和函数(2+2=4分)4.120102)]3()tan(sin)1[(dxxxx0。5.根据柯西公式，积分dzzezz3|2008|20092010ei/2第19页共34页6.函数43)(22zzzzzf有__1_个极点，为__1__阶极点；在极点处的留数为__-4__(1+1+2=4分)。7.当,2||1z试以原点为中心将2312zz做级数展开为)21()1(110kkkkkzz(2+2=4分)8.)1|(|0)01(1)10(1)(ttttf的傅里叶变换为)/()cos1(2。9.ttet21的拉普拉斯变换为)1(Re)1(12123pppp。(1+1+1+1=4分)10.数学物理方程如果没给定解条件，一般会有_无数_个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的__存在__，_唯一，__稳定__。(1+1+1+1=4分)11.一根两端(左端为坐标原点而右端lx）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移),(txu的初始条件为0)0,(;)6)((56)60(6)0,(xulxlxllhlxxlhxut。(3+1=4分)12.偏微分方程0937542xyuuuuuyxyyxyxx的类型为C(备选答案：A.双曲型B.抛物型C.椭圆型D.混合型)；为