1.6 倒点阵和倒格子

固体物理学SolidStatePhysics卫来联系方式：18997573822，[e-mail]物理科学与技术学院2015年3月§1.6倒点阵和倒格子※为什么要研究倒空间（reciprocalspace)?◆一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写:坐标表象r，动量表象k◆为什么选择不同的表象？*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单※量子力学中§1.6倒点阵和倒格子※为什么要研究倒空间（reciprocalspace)?※晶格的周期性描写方式◆任何基本粒子都具有波粒二象性。亦即具有一定能量和动量的微观粒子，同时也是具有一定的波长和频率的波，波也是物质存在的一种基本形式。rk正（坐标）空间的格矢（R）描写周期性，同样在倒（动量）空间，倒格矢K也是描写周期性。这两个空间是等价的，只是存在一个变换（傅里叶变换）◆坐标空间（空间）的布拉伐格子表示晶体结构的周期性，可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述。◆波矢空间（空间）的倒格子表示◆波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以，在波矢k空间，k应满足什么条件呢？§1.6倒点阵和倒格子倒易点阵的概念是Ewald1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。※为什么要研究倒空间（reciprocalspace)?◆晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子的相互作用→都是在波矢空间进行描写的。周期势场中运动的单电子波函数可展开为波矢为的平面波的线性迭加（第4章能带论）),(rkGk对同一能带，当用波矢标志电子状态时，相差一个倒格矢的两个状态是等价的，据此可引入简约布里渊区的概念（第4章能带论）k§1.6倒点阵和倒格子5◆任意周期函数都可在该函数所定义的倒格子空间展开为傅里叶级数布拉维格子具有平移对称性，因而相应的只与位置有关的物理量，由于布拉维格点的等价性，均应是布拉维格矢R的周期函数，如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：()()nFrFrR布拉维格矢Δ周期函数的傅里叶展开由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：展开系数()()igrgFrAge§1.6倒点阵和倒格子展开系数1()()igrAgFredr原胞体积()()nFrFrR因为：1()()igrnAgFrRedr所以：nrrR令则：nrrRdrdr()11()()()nnigrRigRigrAgFredrFreedr则§1.6倒点阵和倒格子11()()()nnigRigRigrigrAgFreedrFredre()Ag()()()[1]0nnigRigRAgAgeAge()01nigRAgore()()0igrgFrAge不合要求，应舍去1nigRe所以§1.6倒点阵和倒格子()()nFrFrR成立1nigRe也就是说，一定存在某些g使得当成立时，由于g与R存在上述对应关系,R可以描述布拉维格子，自然g也可以描述同样的布拉维格子，且g与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似，因而，凡是波矢和布拉维格矢满足的波矢，一定也可以描述布拉维格子。这就是倒格子的由来。1nigRecos()12;intnngRgRmwheremiseger§1.6倒点阵和倒格子利用倒格矢，满足()()nFrFrR的傅里叶展开为:1()(())()hhhiGiGhrhrGAGFrAGeFredr把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间，且只存在波矢为倒格矢的分量。§1.6倒点阵和倒格子T:平移操作)()()()()(rrfRrfrfRTll)()()()(rRrrRTll10◆晶格的傅立叶变换（Fouriertransformation）332211alalalRl正格子位矢：数学上用函数来描写点阵的格点§1.6倒点阵和倒格子11对点阵做傅里叶变换可得到)exp(1)exp()(hKhKhhhrKidVvrKirncK1)()(hhhhhhhhhhh)(lllRKirKiKKRKirKiKKRrKiKKleereeeRr是一个矢量,利用晶体的平移对称性确定hKhK只要晶体有平移周期性，那么在傅里叶空间中就一定存在K矢量满足这个关系！§1.6倒点阵和倒格子12所有的也组成一个点阵----倒点阵所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。当矢量Kh与Rl乘积是2π的整数倍时，在坐标空间Rl处的δ函数的傅里叶变换为在动量空间以Kh为中心的δ函数！坐标空间里，δ(r-Rl)函数表示在Rl的格点，当满足上述条件时，其傅里叶变换也是δ(k-Kh)函数，表示的是倒空间里的一个点！hK§1.6倒点阵和倒格子13◆倒格矢与布拉格反射面间具有一一对应关系，利用倒格子概念可简化对衍射图案分析1901诺贝尔物理学奖W.C.伦琴(德国)发现伦琴射线(X射线)M.V.劳厄发现X射线通过晶体时的衍射，决定了X射线波长，证明了晶体的原子点阵结构1914诺贝尔物理学奖W.H.布拉格W.L.布拉格用X射线分析晶体结构1915诺贝尔物理学奖§1.6倒点阵和倒格子QPATAPQSd入射线与反射线之间的光程差：=SA+AT=2dsin把晶体对X射线的衍射看成是晶面对X射线的反射布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大只有入射的10-3~10-5部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的原子面参与反射满足衍射方程：2dh1h2h3sin=n※布拉格定律(Bragglaw)对于给定的d和，由布拉格定律就能确定角，是仅有的能发生X射线衍射的角度。且n为衍射级数，级数增加，强度减弱。§1.6倒点阵和倒格子布拉格定律的条件衍射波长条件要求波长必须小于2d，否则不可能发生衍射推论1：不是所有的晶面都能发生衍射推论2：可见光波不能用于晶体衍射布拉格定律的局限只能得到晶面间距，对于分析晶体材料还不够晶胞结构？不清楚晶粒大小？不清楚d,待求，衍射条件的计算较复杂§1.6倒点阵和倒格子CO=-Rl·S0OD=Rl·S衍射加强：Rl·（S－S0）=n由：ko=(2/)S0k=(2/)Sk即X射线的波矢得：Rl·（k－k0）=2n因为：Rl·Kh=2n物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件，n为衍射级数。CRlD衍射单位矢量SOA入射单位矢量S0晶面k0k0kk把位于格点上的原子看作是散射中心，劳厄衍射是散射中心对入射X射线的衍射k－k0=nKh劳厄公式※劳埃方程§1.6倒点阵和倒格子|k－k0|=2|S/-S0/|=(2/)2sin2sin=n/dh1h2h3|k－k0|=|nKh|=2n/dh1h2h3|Kh|=2/dh1h2h3k－k0kk0晶面(h1h2h3)-kKh倒格矢与晶面相互对应§1.6倒点阵和倒格子※爱瓦尔德构图根据公式：k－k0=nKh,建立反射球入射线的波矢k0反射线的波矢k倒格矢KhOCA晶面反射球（h1h2h3）(h1´h2´h3´)§1.6倒点阵和倒格子建立反射球的意义通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。所有落在此球上的倒格点都满足关系式:k－k0=nKh即满足衍射加强条件。利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向（若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以OA为倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的衍射方向S）。衍射线束的方向是倒格点与球心C的连线方向※爱瓦尔德构图§1.6倒点阵和倒格子应用举例：晶体电子衍射花样的标定§1.6倒点阵和倒格子21需要学习倒格子和布里渊区！如果已知晶格的基矢和法线的取向，即得晶面的Miller指数,从而晶面族中最靠近原点的晶面的截距和面间距都可得出，晶面族就完全决定。反之，晶格的基矢是未知的，现在只有一些周期性分布的点子同所讨论的晶格中的每族晶面有一一对应的关系，通过对应关系原则上可以把晶格的基矢确定出来。倒格子，就是类似于上面所设想的那些与晶面族对应的点子所组成的格子。§1.6倒点阵和倒格子一、倒点阵和倒格子1、倒点阵和倒格子是格点的位矢（平移矢量），也称为正格矢。是正格矢的倒矢量，称为倒格矢。lRhK对于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列动量空间矢量Kh，满足倒点阵和倒格子的定义：的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的倒格子或倒点阵，这些点称为倒格点，Kh为倒格矢。§1.6倒点阵和倒格子2）倒格子空间正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基矢在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间是位置空间，称为坐标空间。而由倒格子组成的空间则为状态空间，称为倒格子空间，或K空间。正格子基矢组成的平行六面体为正格子原胞，由倒格子基矢组成的平行六面体则称为倒格子原胞。3）倒格点的选取◆从坐标原点O引晶面族ABC的法线ON◆在法线上截取一段OP=ρ,使ρd=2π,(其中d为晶面族ABC的面间距）§1.6倒点阵和倒格子◆以OP为该方向的周期，作无限平移，就得到一系列新的点子。◆对于每一个晶面族，我们都能得到这样一系列点子，从而得到了一个新的点阵。◆把这个新的点阵称为原点阵的倒易点阵。◆将倒易点阵连成格子称之为倒格子，而原来的晶格则称为正格子。4）倒格子的基矢正格矢是正格子基矢的线性组合，根据定义式，我们可设倒格矢亦为线性组合，并写成332211bbbhhhhK晶格的原胞基矢为a1,a2,a3，原胞体积为Ω=a1·（a2×a3），从正格子基矢出发，建立其倒格子基矢：§1.6倒点阵和倒格子213433221,,,,dddaaaaaa面族的面间距分别是3321/2bopopopdaa上截取面，在作11223213/2b/2bop,,ddaaaa此两面，得作对面同理321,,bbb取为倒空间的基矢这样得到的三个矢量就§1.6倒点阵和倒格子正格子原胞的体积/222133213213aadbaadaad/)(2213213aabaab的方向的方向就是/)(2/)(2132321aabaab上式表示正格子与倒格子的关系，除因子2π外，互为倒数，有了正格子基矢就能得出倒格子基矢，反之亦然。注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有相同的量纲。本是倒格矢，但可理解为波矢，因为常用波矢来描述运动状态，故可以将倒格子所组成的空间（空间）理解为状态空间，正格子组成的空间是位置空间或坐标空间。§1.6倒点阵和倒格子正格子与倒格子结构对比：§1.6倒点阵和倒格子正格子与倒格子结构对比。正格子与倒格子结构对比：§1.6倒点阵和倒格子第1章晶体结构※正交晶系晶胞的正格子和倒格子abca2b2c2§1.6倒点阵和倒格子验证：332211hbhbhbhK选择：为倒格子的基矢为任意整数321,,bbb321,,hhh22..332211332211332211hlhlhlalalalbhbhbhR