1.6 行列式按一行(列)展开

例如,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa§6行列式按一行(列)展开一个求行列式的一般方法例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MA.23M，记ijjiijMA1叫做元素的代数余子式．ija在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nij1nija.Mijija,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式。引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDniijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.aaaaaaaaa1a4442412422211412113333例如证当位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100即有22(1)112(1)nnNjjjnjDaaa22()112(1)nnNjjjnjaaa1111.aM引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDniijaija2222(1)112()1121111(1)[(1)].nnnnNjjjnjNjjjnjDaaaaaaaM又1111111MA,11M从而.1111AaDnnnjnijnjaaaaaaaD1111100再证一般情形,此时得行对调第行第行行依次与第的第把,1,,2,1iiiD得列对调第列第列列依次与第的第再把,1,,2,1jjjDnnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001ijannjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1110011ijannjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,12001ijannjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,1001ija中的余子式.ijMnnnjnijnjaaaaaaaD1111100ija中的余子式仍然是在行列式元素nn1jn,nj1,ni1j1,ij1,iijaaaaaa00aijaijaija在故得于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,,11,1,100,ijijMaijannjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,,11,1,1001.1ijijjiMaija定理1.5行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa2211ni,,2,1njnj2j2j1j1jAaAaAaDni,,2,1补例计算行列式277010353D解27013D.27按第一行展开，得2700577103补例3351110243152113D03550100131111115312cc34cc0551111115)1(335526)1(315028.4005502611512rr定理1.6行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa证行展开，有按第把行列式jaDij可得换成把),,,1(nkaaikjk,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa行第j行第i相同关于代数余子式的重要性质;,0,,1jijiDDAaijnkkjki当当;,0,,1jijiDDAaijnkjkik当当.,0,1jijiij当，当其中,时当ji).(,02211jiAaAaAajninjiji同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji0532004140013202527102135D例1计算行列式解0532004140013202527102135D532041401320213521525324141325213rr122rr662721066027013210.1080124220证用数学归纳法21211xxD12xx,)(12jijixx）式成立．时（当12n例2证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式)1(1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD(n个数的所有可能的差的乘积))()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn按第一列展开，并把每列的公因子)(1xxi提出，得从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有假设（1）对于n-1阶范德蒙行列式成立122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx)()())((211312jjininnxxxxxxxxD).(1jjinixx2nn2n32n2n321n1312nxxxxxx111)x(x)x)(xx(xDn-1阶范德蒙德行列式例3,11111kkkkijaaaaaD,11112nnnnijbbbbbD.21DDD证明nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110设证明:对k用数学归纳法例3,11111kkkkijaaaaaD,11112nnnnijbbbbbD.21DDD证明nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110设证明:;0111111kkkkkpppppD设为化为下三角形行列式，把作运算对11DkrrDji化为下三角形行列式把作运算对22,DkccDji化为下三角形行列式把算列作运，再对后行作运算的前对DkccnkrrkDjiji,nnkkqqppD1111故.21DD,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD1121110.nnnnnqDqqqq设为计算4阶行列式yyxxD1111111111111111例4解（加边法）x=0或y=0时，D=0；xy≠0时：把D加上一行和一列，并保持行列式的值不变。yyxxD11110111101111011110111111(2,3,4,5)irriyyxx000100010001000111111123451111cccccxxyy22000000000000000011111yxyyxx补例计算2n阶行列式,2n2ndcdcbabaD其中未写出的元素为0.解：把2nD中的第2n行依次与第2n-1行、…、第2行对调（作2n-2次相邻对换），再把第2n列、…、第2列对调，得dc00dcbaba0000dc00ba1)(D2)2(2n2n1)2(n从而.1)2(n1)2(n22nbc)D(adDDD以此作递推公式，即得.n21n2)2(n21)2(n2nbc)(adDbc)(adDbc)(adbc)D(adD阶行列式设nnnDn00103010021321求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA补例：解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211n001030100211111.11!2njjnii11rr)(n3,2,in00103010021000j11n2j作业P36A10(1)(2)(3)(4)11B16