2.3变量间的相关关系(公开课)

2.3变量间的相关关系有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？物理成绩数学成绩学习兴趣学习时间其他因素结论：变量之间除了函数关系外，还有。问题引入：函数关系是一种确定的关系；相关关系与函数关系的异同点：均是指两个变量的关系．相关关系是一种非确定关系.相同点：不同点：变量关系有关系没关系函数关系相关关系练习：下列各变量之间是相关关系的序号是.①路程与时间、速度的关系；②人的身高和年龄的关系；③粮食产量与施肥量的关系；④圆周长与半径的关系；⑤广告费支出与销售额的关系.⑥中国足球队的成绩和中国乒乓球队的成绩②③⑤两个变量之间的关系年龄23273941454950脂肪9．517．821．225．927．526．328．2年龄53545657586061脂肪29．630．231．430．833．535．234．6根据上述数据，人体的脂肪含量和年龄之间有怎样的关系？一次对人体的脂肪含量和年龄关系的调查，如图：通过统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，如图：O20253035404550556065年龄脂肪含量510152025303540称该图为散点图。有一个同学家开了一个小超市，他为了研究气温对热饮销销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度261813104-1热饮杯数202434385064为了了解热饮销量与气温的大致关系，我们以气温为横轴，热饮销量为纵轴，建立直角坐标系，散点图气温越高，卖出去的热饮杯数越少。O5101520253035气温y102030405060-5观察这些散点图，说说它们的异同点。020040060080010001200051015系列10510152025303540020406080系列1如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线,这条直线的方程叫做回归方程另外,散点散布在从左下角到右上角的区域,称这两个变量的相关关系为正相关;反之称为负相关.为研究学生数学和物理成绩的关系，随机抽取班级5个学生的数学和物理成绩如下表：学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462散点图正相关回归直线y^＝b^x＋a^如何求线性回归直线方程？人们经过长期的实践与研究，已经得出了计算回归方程斜率与截距的一般公式：1122211()()().nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx，推导公式的计算比较复杂，这里不作推导．但是，我们可以解释一下得出它的原理．当自变量x取xi（i=1,2,…,n）时可以得到回归直线上的点的纵坐标为：它与样本数据yi的偏差是：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的样本的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，且所求回归直线方程是：，其中是待定系数.(x1，y1)(x2，y2)(xn，yn)ˆybxaba,ˆ(1,2,,)iiybxainˆ()iiiiyyybxa运算不方便避免相互抵消各点与直线的整体偏差1ˆ()iniiyy求的最小值1ˆiiniyy求的最小值21ˆ)iniiyy求(的最小值2112222()()()nnQybxaybxaybxa问题就归结为：当,ab取什么值时Q最小.这种通过求：的最小值而得到回归直线的方法，即求样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.2221122()()()nnQybxaybxaybxa1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx斜率截距1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxaybxy回归直线方程y=bx+a必过样本点的中心)(yx，例题：求三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程．051015202530051015解（1）作出散点图：i123xi3711yi102024xiyi30140264xi294912131434.iiixy7,18.xy321179;iix(2)列表如下:(3)代入公式3132213ˆ343437181.75179349iiiiixyxybxxˆˆ-18-71.755.75aybx.75.575.1ˆxy所求线性回归方程为:求解线性回归问题的步骤:1.列表，画散点图.2.计算:3.代入公式求和4.列出直线方程2,,,,iiiiiixyxyx211,,,nniiiiixyxxyˆaˆb练习2、已知x,y的取值如下表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a,以此预测当x=5时，y=__________.x0134y2.24.34.86.7ˆy7.353.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标煤；试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标煤？x3456y2.5344.5解：(1)散点图，如图所示．（1）散点图：（2）正相关、负相关：（3）线性相关关系：（4）回归方程的系数公式：【知识归纳】1、知识：（1）最小二乘法：（2）转化与化归;数形结合;2、思想方法：1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxnxybxxxnxaybxy