21曲线的凹凸性与拐点

第四章微分中值定理与导数的应用高等数学第五节4.5.1曲线的凹凸性与拐点一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC定义,2)()()2(,,,)(212121xfxfxxfxxIIxf恒有点上任意两如果对上连续在区间设,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹且在内连续在如果babaxf;)(],[)(的或凸内的图形是凹在那末称baxf,2)()()2(2121xfxfxxf如果恒有();fxI那末称在上的图形是上凹的（或凹弧）()fxI那末称在上的图形是上凸的（或凸弧）．二、曲线凹凸的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理1内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果),(,),(,],[)(bababaxf;],[)(,0)()1(上的图形是凹的在则baxfxf.],[)(,0)()2(上的图形是凸的在则baxfxf例1.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。例2.)2()(21100yxyxyxyx有，及，、对试证：解,)(ttf令,)1()(2ttf则,0)(0tft时有在0。是凹的时在ft有且、对,)(0,yxyx,)2())()((21yxfyfxf证毕。即所证不等式成立。三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理2如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,1、定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、拐点的求法证,)(二阶可导xf,)(存在且连续xf则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.,])([)(0两边变号在则xxfxf,))(,(00是拐点又xfx,)(0取得极值在xxf,条件由可导函数取得极值的.0)(xf方法1:,0)(,)(00xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx例3.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线xxy解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32().,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数xfyxfxxfxfxxf例4.)]2,0([cossin的拐点内求曲线xxy解,sincosxxy,cossinxxy.sincosxxy,0y令.47,4321xx得2)43(f,02)47(f,0内曲线有拐点为在]2,0[).0,47(),0,43(.)())(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf注意:例5.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy2(),().xyfxefx例6、设求增减的区间和极值点，以及凹凸区间和拐点），由，解：函数的定义域为（;0,0212xyxeyx得驻点及22,0),12(23,222xyxeyx得及-2-1120.20.40.60.81x),22()22,0(0)(xf)(xf00凹、降凸、降拐点22)(xf极大值212e2x)(xf)(xf)(xf)22,(0拐点22212e)0,22(002凹、升凸、升例7的凹凸性与拐点。讨论32)1(xxy解).,(定义域为,9)15(23/4xxy.0,51不存在的点为零点为列表：x)51,(),0()0,51(510)(xf)(xf0不存在拐点非拐点))(5/1),0[]0,5/1[]5/1,(xyy曲线（。上是凹的，拐点为及上是凸的、在此函数在上是凹的？问：此函数在),5/1[4.5.2渐近线定义:,)(沿着曲线移向无穷点时上的一动点当曲线Pxfy1.铅直渐近线)(轴的渐近线垂直于x)(lim)(lim00xfxfxxxx或如果,的距离趋向于零到某定直线如果点LP.)(的一条渐近线就称为曲线那么直线xfyL.)(0的一条铅直渐近线就是那么xfyxx例如,)3)(2(1xxy有铅直渐近线两条:.3,2xx2.水平渐近线)(轴的渐近线平行于x)()(lim)(lim为常数或如果bbxfbxfxx例如,arctanxy有水平渐近线两条:.2,2yy.)(的一条水平渐近线就是那么xfyby3.斜渐近线),(0)]()([lim0)]()([lim为常数或如果babaxxfbaxxfxx斜渐近线求法:,)(limaxxfx.])([limbaxxfx.)(的一条斜渐近线就是曲线那么xfybaxy.)(的一条斜渐近线就是那么xfybaxy注意:;)(lim)1(不存在如果xxfx,])([lim,)(lim)2(不存在但存在axxfaxxfxx.)(不存在斜渐近线可以断定xfy例1.1)3)(2(2)(的渐近线求xxxxf解).,1()1,(:D)(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是曲线的铅直渐近线xxxfx)(lim又)1()3)(2(2limxxxxx,2]21)3)(2(2[limxxxxx1)1(2)3)(2(2limxxxxxx,4.42是曲线的一条斜渐近线xy的两条渐近线如图1)3)(2(2)(xxxxf4.5.3函数曲线的作图一利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步确定函数)(xfy的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数)('xf和二阶导数)(xf;求出方程0)('xf和0)(xf在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.第三步确定在这些部分区间内)('xf和)(xf的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行讨论）；第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步描出与方程0)('xf和0)(xf的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.二、作图举例例2.2)1(4)(2的图形作函数xxxf解,0:xD非奇非偶函数,且无对称性.,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf,0)(xf令,2x得驻点,0)(xf令.3x得特殊点]2)1(4[lim)(lim2xxxfxx,2;2y得水平渐近线]2)1(4[lim)(lim200xxxfxx,.0x得铅直渐近线列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf00)(xf20不存在拐点极值点间断点3)926,3(:补充点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图xyo232111236ABC2)1(4)(2xxxf.)(,)(32间和拐点和极值点，以及凹凸区增减的区间求、设例xfexfyx），由，解：函数的定义域为（;0,0212xyxeyx得驻点及22,0),12(23,222xyxeyx得及-2-1120.20.40.60.81x),22()22,0(0)(xf)(xf00凹、降凸、降拐点22)(xf极大值212e2x)(xf)(xf)(xf)22,(0拐点22212e)0,22(002凹、升凸、升例3.21)(22的图形作函数xex解),,(:D偶函数,图形关于y轴对称.,2)(22xexx,0)(x令,0x得驻点,0)(x令.1,1xx得特殊点.4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx2221lim)(limxxxex,0.0y得水平渐近线x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x)(x00)(x01拐点极大值21)21,1(e列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:0拐点)21,1(exyo11212221)(xex例4.1)(23的图形作函数xxxxf解),,(:D无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf,0)(xf令.1,31xx得驻点,0)(xf令.31x得特殊点:补充点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311拐点极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf极小值0xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C113131123xxxy四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.xyoab最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减)(xfy思考题两坐标轴0x，0y是否都是函数xxxfsin)(的渐近线？思考题解答0sinlimxxx0y是其图象的渐近线.0x不是其图象的渐近线.1sinlim0xxxxxysin一、填空题：1、若函数)(xfy在（ba,）可导，则曲线)(xf在(ba,)内取凹的充要条件是____________.2、曲线上____________的点，称作曲线的拐点.3、曲线)1ln(2xy的拐点为__________.4、曲线)1ln(xy拐点为_______.二、求曲线xeyarctan的拐点及凹凸区间.三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式：22yxyxeee)(yx.四、求曲线2sin2cot2ayax的拐点.练习题五、试证明曲线112xxy有三个拐点位于同一直线上.六、问a及b为何值时，点(1,3)为曲线23bxaxy的拐点？七、试决定22)3(xky中k的值,使曲线的拐点处的法线通过原点.一、1、),()(baxf在内递增或0)(),,(xfbax；2、凹凸部分的分界点；3、]2,(),,2[),2,2(2e；4、)2ln,1(),2ln,1(