数字信号处理,中山学院,信息工程,李飞鹏 第8章

第八章数学形态学及其应用第八章数学形态学及其应用8.1引言8.2二值形态学8.3灰值形态学8.4形态学的应用8.5MATLAB应用实例第八章数学形态学及其应用8.1引言8.1.1数学形态学(MathematicalMorphology)诞生于1964年。法国人赛拉(J.Serra)和马瑟荣，在矿石学分析研究中的基础上，第一次引入了这门学科的理论基础及形态学表达式。如击中/击不中变换、开闭运算、布尔模型及纹理分析器等。数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到分析和识别的目的。第八章数学形态学及其应用数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形态学滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。其算法具有天然的并行实现的结构，大大提高了图像分析和处理的速度。第八章数学形态学及其应用数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开和闭。基于基本运算还可组合出各种实用算法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理，包括图像分割、特征抽取、边界检测、滤波、增强和恢复等。形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”（可直接携带如形状、大小、灰度和色度等信息）收集图像的信息，当探针在图像中移动时，便可考察图像各部分之间的相互关系和结构特征。第八章数学形态学及其应用数学形态学的基本思想及方法适用于与图像处理有关的各个方面，如基于击中/击不中变换的目标识别，基于邻域概念的图像分割，基于腐蚀和开运算的骨架抽取及图像压缩，基于形态学滤波器的颗粒分析等。数学形态学既有简洁的理论基础，又有广泛的实用价值。在理论上是严谨的，在观念上是简单和优美的。其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。第八章数学形态学及其应用事实上，数学形态学已经构成一种新的图像处理方法和理论，成为计算机图形图像处理的一个重要研究领域，并且已经应用在多门学科的图像分析和处理中。这门学科在文字识别，生物识别，显微图像分析，医学图像处理，图像编码压缩，工业检测，材料科学，机器人视觉等方面都取得了非常成功的应用。形态学方法已成为图像应用领域工程技术人员的必备工具。第八章数学形态学及其应用8.1.2基本符号和术语1.元素和集合在数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。对于二值图像而言（假设取值为1的点对应于景物，用阴影表示，而取值为0的点构成背景，用白色表示），可以直接用集合表示。对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内，那么就说a是A的元素，记为a∈A，否则，记作a∈A，如图81（a）所示。第八章数学形态学及其应用图8-1元素与集合间的关系aAbBA(a)(b)第八章数学形态学及其应用2.交集、并集和补集两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集，记为A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。对一幅图像A，在图像A区域以外的所有点构成的集合称为A的补集，记为AC，即AC={a｜a∈A}。第八章数学形态学及其应用图8-2集合的交集、并集和补集BABABAACA∪BA∩B第八章数学形态学及其应用3.击中（Hit）与击不中（Miss）设有两幅图像A和B，如果A∩B≠，那么称B击中A，其中是空集合的符号；否则，如果A∩B=，那么称B击不中A，如图8-3所示。图8-3（a）B击中A；（b）B击不中A(a)(b)ABBA第八章数学形态学及其应用4.目标和结构元素被处理的图像称为目标图像。为了确定目标图像的结构，必须逐个考察图像各部分之间的关系，并且进行检验。为此，需要设计一种收集信息的“探针”，称为“结构元素”。“结构元素”一般用大写字母S表示。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像各部分之间的关系。一般来讲，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。第八章数学形态学及其应用8.2二值形态学二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结构元素，则形态学运算是用S对A进行操作。实际上结构元素本身也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点(形态学运算的参考点)。原点可以在结构元素中，也可以不在结构元素中，对应的运算结果也不同。假如用阴影代表目标区域，白色代表背景区域，二值形态学中两个最基本的运算——腐蚀与膨胀，如图8-5所示。第八章数学形态学及其应用图8-5腐蚀与膨胀示意图二值图像腐蚀膨胀第八章数学形态学及其应用8.2.1腐蚀腐蚀是最基本的数学形态学运算。对一个给定的目标图像X和一个结构元素S，想象一下将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态（见下图）：(1)S+xX；(2)S+xXC；(3)S+x∩X与S+x∩XC均不为空。第八章数学形态学及其应用图8-6S+x的三种可能的状态xS＋x1S＋x2S＋x3X第八章数学形态学及其应用第一种情形说明S+x与X相关最大，第二种情形说明S+x与X不相关，而第三种情形说明S+x与X只是部分相关。满足第一种情形的点x的全体构成结构元素与图像最大相关点集，这个点集称为S对X的腐蚀，记为XS。腐蚀的集合方式定义为:上式表明，X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包含在X中时S的原点的集合。}|{XxSxSX（8-2）第八章数学形态学及其应用腐蚀在形态学运算中的作用是消除物体的边界点。如果结构元素取3×3的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。第八章数学形态学及其应用图8-7给出了腐蚀运算的一个简单示例。图(a)中的阴影部分为集合X，图(b)中的阴影部分为结构元素S，而图(c)中黑色部分给出了XS的结果。由图可见，腐蚀将图像(区域)缩小了。图8-7腐蚀运算示例(a)(b)(c)＋第八章数学形态学及其应用图8-9用3×3的结构元素进行腐蚀(a)原始图像；(b)3×3结构元素；(c)腐蚀结果(a)(b)(c)第八章数学形态学及其应用(a)(b)(c)＋8.2.2X中每一与结构元素S全等的子集S+x收缩为点x。反之，将X中每一点x扩大为S+x，这就是膨胀运算，记为XS。其集合定义为:XS={x|S+x∪X≠}（8-4）图8-10膨胀运算的例子(将图像扩大了)SXSX第八章数学形态学及其应用8.2.3开、闭运算1.基本概念如果结构元素为圆盘，那么，膨胀可填充图像中的小孔及图像边缘处的小凹陷部分，而腐蚀可以消除图像边缘处小的突起，并将图像缩小。膨胀和腐蚀并不互为逆运算，但它们可以级连使用。在腐蚀和膨胀的基础上，可以构造出形态学运算的另外两个基本算子:可先对图像进行腐蚀然后膨胀,称为开运算;或先对图像进行膨胀然后腐蚀,称为闭运算。第八章数学形态学及其应用用符号X○S表示用结构元素S对图像X作开运算，用符号X●S表示用S对图像X作闭运算，即:X○S=(XS)SX●S=(XS)S由上式可知，X○S可视为对腐蚀图像XS用膨胀进行恢复，而X●S看作是对膨胀图像XS用腐蚀进行恢复。不过这一恢复不是信息无损的，通常不等于原始图像X。（8-7）（8-8）第八章数学形态学及其应用图8-10给出了两个开运算的例子，其中图8-10（a）是结构元素S1和S2，图8-10（b）是用S1对X进行开运算的结果，图8-10（c）是用S2对X进行开运算的结果。当使用圆盘结构元素时，开运算对边界进行了平滑，去掉了凸角；当使用线段结构元素时，沿线段方向宽度较大的部分才能够被保留下来，而较小的凸部将被剔除。开运算通过消除图像的凸角来平滑图像。第八章数学形态学及其应用图8-10开运算去掉了凸角(a)结构元素S1和S2；(b)X○S1；(c)X○S2xyOS1yxS2OXX○S1X○S2X(a)(b)(c)第八章数学形态学及其应用要注意的是，开和闭运算不受原点是否在结构元素之中的影响。由腐蚀和膨胀的对偶性，可知(XC○S)C=X●S；(XC●S)C=X○S（8-10）即,开、闭变换是一对对偶变换，例如，闭运算可以由补集的开运算导出。图8-11给出了两个闭运算的例子，其中，图8-11（a）是结构元素S1和S2，图8-11（b）是用S1对X进行闭运算的结果，图8-11（c）是用S2对X进行闭运算的结果。可见，闭运算通过填充图像的凹角来平滑图像。第八章数学形态学及其应用图8-11闭运算填充了凹角(a)结构元素S1和S2；(b)X●S1；(c)X●S2xyOS1yxS2OXX●S2X(a)(b)(c)X●S1S1S1第八章数学形态学及其应用图8-12开、闭运算示例(a)原图像；(b)结构元素S；(c)结构元素S腐蚀图像X；(d)腐蚀的结果；(e)对腐蚀的结构再膨胀；(f)开运算的结果X○S；(g)结构元素S膨胀X；(h)膨胀的结果；(i)对膨胀的结果再腐蚀；(j)闭运算的结果X●S；第八章数学形态学及其应用2.开闭运算的代数性质开、闭运算基于腐蚀和膨胀运算，根据腐蚀和膨胀运算的代数性质，不难得到下面的性质。1）扩展/收缩性:X○S=X=X●S即开运算恒使图像缩小，而闭运算恒使图像扩大。2）平移不变性:(X+h)●S=(X●S)+h，(X+h)○S=(X○S)+hX●(S+h)=X●S，X○(S+h)=X○S3）等幂性:(X●S)●S=X●S,(X○S)○S=X○S等幂性意味着一次形态学滤波效果与多次等效。第八章数学形态学及其应用图8-13开、闭运算效果示意图(a)原始图像；(b)开运算的结果；(c)闭运算的结果  (a)(b)(c)第八章数学形态学及其应用8.3灰度形态学8.3.1灰度腐蚀类似于二值腐蚀定义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。也可以用结构元素b对输入图像f(x,y)进行灰度腐蚀。灰度图像的腐蚀操作有两类效果：①如果结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像暗；②输入图像中的亮细节会被削弱或消除，削弱的程度取决于这些亮细节的灰度值以及它们相对于结构元素的尺寸和形状。第八章数学形态学及其应用图8-17灰度腐蚀示意图(a)图像f；(b)结构元素b；(c)用结构元素b对f腐蚀；(d)腐蚀的结果01234567123yx123y0123－1－2xb(a)(b)Ofs(c)Ofs(d)s′s″fb)()(xsbsf－＋)()(xsbsf－＋第八章数学形态学及其应用8.3.2灰度膨胀同样也可以用结构元素b对输入图像f(x,y)进行灰度膨胀。对灰度图像的膨胀操作有两类效果：①如果结构元素的值都为正，则输出图像会比输入图像亮；②根据输入图像中暗细节的灰度值以及它们的形状和尺寸相对于结构元素的关系，它们(暗细节)在膨胀中被削减或消除。第八章数学形态学及其应用图8-19灰度膨胀示意图(a)灰度膨胀过程；(b)灰度膨胀结果Ofs(a)Os(b)s′s″)()(xsbsf)()(xsbsf－＋－＋)(sf)(sfbff第八章数学形态学及其应用图8-18灰度腐蚀与膨胀前后的图像(a)原始图像;(b)腐蚀后图像;(c)膨胀后图像第八章数学形态学及其应用下面介绍灰度膨胀和腐蚀的对偶性。灰度膨胀和腐蚀相对于函数的补(补函数)和反射也是对偶的，对偶关系为VCCVCCbfbfbfbf)()(（8-17)（8-18)这里函数的补定义为fC(x,y)=-f(x,y)，而函数的反射定义为bV(x,y)=b(-x,-y)。第八章数学形态学及其应用8.3.3灰值开、闭运算灰值开和闭运算的定义与它们在二值形态学中的定义是一致的。用结构元素b(小的灰度图像)对灰度图像f做开运算记为f○b，其定义为f○b=（fb）b（8-19）用结构元素b对图像f做闭运算记为f●b，其定义为f●b=