数字信号处理-程佩青第三版课件

数字信号处理程佩青第三版课件第一章离散时间信号与系统学习目标•掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。•掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。•理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。•了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。1.1离散时间信号——序列信号是传递信息的函数。针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号：（1）连续时间信号-----自变量取连续值，而函数值可连续可离散。当函数值是连续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。（2）离散时间信号-----自变量取离散值，而函数值连续。（3）数字信号-----自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离散化了的离散时间信号。离散时间信号是对模拟信号xa(t)进行等间隔采样获得的，采样间隔为T，得到：nnTxtxanTta),()(一、离散时间信号——序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T这里n取整数。对于不同的n值，xa(nT)是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即nnTxnxa),()(,...9,8,7,3,2,1...)(nx离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如二、常用序列1.单位抽样序列(n)0,00,1)(nnn01/t(t)0(1)t(t)1n0(n)2.单位阶跃序列u(n)0,00,1)(nnnut0u(t)1…0nu(n)(n)与u(n)之间的关系)1()()(nunun0)()(kknnu令n-k=m，有nmmnu)()(3.矩形序列RN(n)nNnnRN其它,010,1)(N为矩形序列的长度0nR4(n)123)()()(NnununRN10)()(NmNmnnR4.实指数序列)()(nuanxn，a为实数0n0a10na1a-1或-1a0,序列的幅值摆动0n-1a00na-15.正弦序列)sin()(nAnxSfT式中，ω为数字域频率，单位为弧度。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么Ω为模拟角频率，单位为弧度/秒。T为信号的采样周期，fs为信号的采样频率。)sin()(),sin()(nTtxttxnTtaanjenx0)()sin()cos()(00njnnxnjnMjee0022,1,0Mnjenx)(0)(6.复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。当=0时，上式可表示成上式还可写成表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了。7.周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：)()(Nnxnx)4sin()(nnx例：8)],8(4sin[)(Nnnx则称x(n)为周期序列，最小周期为N。一般正弦序列的周期性设)sin()(0nAnx那么)sin(])(sin[)(000NnANnANnx)()(Nnxnx如果])(sin[)sin(00NnAnA则kN)/2(0N，k均取整数式中，A为幅度，ω0为数字域频率，为初相。正弦序列的周期性讨论：02整数时，则正弦序列有周期，当k=1时，周期为020202有理数时，设=P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k为最小正整数，只有k=Q，即N=P时，所以正弦序列的周期为P02无理数时，则正弦序列无周期。例如，kN)/2(0n41sin用单位采样序列来表示任意序列mmnmxnx)()()(mnmnmn,0,1)(三、序列的运算1.序列的加法)()()(21nxnxnxx1(n)n0x2(n)n0x1(n)+x2(n)n0同序号的序列值逐项对应相加2.序列的乘法)()()(21nxnxnxx1(n)n0x2(n)n00nx1(n)·x2(n)同序号的序列值逐项对应相乘3.序列的移位)()(0nnxny当n00时，序列右移——延迟当n00时，序列左移——超前x(n)n0n0x(n-2)4.序列的翻转n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻转序列。x(-n)是以纵轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转。x(n)n05.尺度变换x(n)n0n0x(2n))(mnx)(nx是序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。——抽取序列mnx)(nx是序列相邻抽样点间补（m－1)个零值点，表示零值插值。——插值序列6.累加（等效积分）nkkxny)()(7.差分运算前向差分后向差分)1()()()()1()(nxnxnxnxnxnx8.卷积和mmnhmxnhnxny)()()()()(等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。1.2线性移不变系统离散时间系统T[•]x(n)y(n))]([)(nxTny在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T[]表示，即1.2.1线性系统若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统。)],([)(11nxTny)]([)(22nxTny)()()]([)]([)]()([212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT其中a、b为任意常数。设[例]是线性系统。)792sin()()(nnxny证：)792sin()()(11nnxny)792sin()()(22nnxny)792sin()]()([)()(22112211nnxanxanyanya)792sin()]()([)]()([22112211nnxanxanxanxaT)()()]()([22112211nyanyanxanxaT所以，此系统是线性系统。[例]4)(3)(nxny所代表的系统不是线性系统。证：4)(3)]([)(111nxnxTny4)(3)]([)(222nxnxTny)(4)(3)(3)()(2122112211aanxanxanyanya但是4)]()([3)]()([22112211nxanxanxanxaT)()()]()([22112211nyanyanxanxaT所以，此系统不是线性系统。增量线性系统对增量线性系统，任意两个输入的差是两个输入差的线性函数1.2.2时不变系统（移不变系统）时不变系统T[•]x(n)y(n))]([)(nxTny若则)]([)(00nnxTnnyn0为任意整数。输入移动任意位（如n0位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。[例]bnaxny)()(证：bnnaxnnxT)()]([00bnnaxnny)()(00)]([)(00nnxTnny所以，此系统是时不变系统。[例])()(nnxny证：)()]([00nnnxnnxT)()()(000nnxnnnny)]([)(00nnxTnny所以，此系统不是时不变系统。同理，可证明所代表的系统不是时不变系统。)4sin()()(0nnxny1.2.3线性时不变系统输入与输出之间的关系T[•](n)h(n)一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统(linearshiftinvariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征。单位取样响应，也称单位冲激响应，是指输入为单位冲激序列时系统的输出，一般用h(n)来表示：)()]([)(nhnTny根据线性系统的叠加性质])([)()(mmnTmxnymmnhmxny)()()(又根据时不变性质设系统的输入用x(n)表示，而mmnmxnx)()()(因此，系统输出为])()([)]([)(mmnmxTnxTny通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：)()()()()(nhnxmnhmxnym线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：用单位取样响应h(n)来描述系统h(n)x(n)y(n))()()()()(nhnxmnhmxnym线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。)()()()()(nhnxmnhmxnym例已知x(n)和h(n)分别为：和a为常数，且1a，试求x(n)和h(n)的线性卷积。其它,060,)(nanhn其它,040,1)(nnx计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。解参看图，分段考虑如下：(1)对于n0；(2)对于0≤n≤4；(3)对于n4，且n-6≤0，即4n≤6；(4)对于n6，且n-6≤4，即6n≤10；(5)对于(n-6)4，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m)n图解说明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1)n0n-6mh(n-m)n0(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04(3)4n≤6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4)6n≤1010(5)n10n-6mh(n-m)n04(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04图解说明0)(0mxm时，当0)(04mnhmnm时，当aaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnmmnnm11111)()()(11)1(000(2)在0≤n≤4区间上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在4n≤6区间上n-6mh(n-m)n0460mx(m)4aaaaaaaaamnhmxnynnnmmnmmnm1111)()()(141)41(404040(4)在6n≤10区间上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4aaaaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnmmnnm111)()()(741)14()6(464646综合以上结果，y(n)可归纳如下：nnaaanaaanaannynnnn10,0106,164,140,110,0)(74141卷积结果y(n)如图所示6ny(n)1004[例]设有一线性时不变系统，其单位取样响应为000)()(nnnuanhn10a)()()(Nnununxmmnhmxny)()()(解：分段考虑如下：(1)对于n0；(2)对于0≤n≤N－1；(3)对于nN。0)1(n0)(ny0)(0mxm时，当0)(00mnhmnm时，当(2)在0nN区间上aaaaamnhmxnynnmmnnmmnnm111)()()(