数字信号处理-第五章

1第五章时域离散系统的网络结构21、同一系统函数H(z)，存在几种不同的实现网络结构。2、不同的网络结构实现的滤波器的性能不同（运算误差、稳定性等）3如果系统输入和输出服从N阶差分方程：则系统函数H(z)用下式表示：基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）()()()MNikikynbxniaynk01()()()MiiiNkkkbzYzHzXzaz0114信号流图由基本支路构成1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的符号表示增益（缺省为1）2.输出节点变量等于输入节点变量乘以增益3.输出节点有多个输入支路时，输出节点变量等于所有输入节点变量之和5例：二阶数字滤波器120()(1)(2)()ynaynaynbxn方框图结构流图结构6输入x(n)称为输入节点变量，y(n)表示输出节点变量，w1(n),w2(n),w3(n)和w4(n)也是节点变量。这些节点变量和其他节点变量之间的关系用下式表示：w1(n)=x(n)+aw3(n)w2(n)=w1(n)w3(n)=w2(n-1)w4(n)=b0w2(n)+b1w3(n)y(n)=w4(n)W1(z)=X(z)+aW3(z)W2(z)=W1(z)W3(z)=z-1W2(z)W4(z)=b0W2(z)+b1W3(z)Y(z)=W4(z)Z变换7已知信号流图求系统函数方法1.写出节点方程，联立求解。（适用于简单的系统）方法2.梅森公式（适用于各种系统）参考资料8按照梅森公式,系统函数公式为式中，Δ称为流图特征式，其计算公式如下：kkkTzH)((7.2.1)'''''''',,,...iijijkiijijkLLLLLL1(7.2.2)iiL表示流图中出现的所有环路的环路增益'',ijijLL表示流图中两两互不接触的环路的环路增益之乘积'''''',,ijkijkLLL表示流图中三个互不接触的环路的环路增益之乘积kT表示流图中从输入节点到输出节点的第k条前向通路的增益k表示流图中与第k条前向通路不接触的流图特征式，它是除去与k条前向通路相接触的环路外，余下子图的特征式。9x(n)y(n)z－1z－1b0b1b2w1w2w2′－a1－a2例用梅森公式写出下面系统的系统函数H(z)10该流图有两个环路：一个是w′2→w2→w′2环路增益为-a1z-1另一个是w′2→w2→w1→w′2环路增益为-a2z-2没有互不接触的环路，这样流图特征式为Δ=1-(-a1z-1-a2z-2)=1+a1z-1+a2z-2流图中有三条前向通路：第一条是x(n)→w′2→y(n)，它的增益是T1=b0；第二条是x(n)→w′2→w2→y(n)，它的增益是T2=b1z-1；第三条是x(n)→w′2→w2→w1→y(n)，它的增益是T3=b2z-2。流图中的两个环路均与所有的前向通路相接触，因此对应于三条前向通路的Δ1=1，Δ2=1，Δ3=1。x(n)y(n)z－1z－1b0b1b2w1w2w2′－a1－a211数字系统根据其单位脉冲响应h(n)的长度分成两类：FIR(FiniteImpulseResponse有限脉冲响应)IIR(InfiniteImpulseResponse无限脉冲响应)12FIR网络中不存在输出对输入的反馈支路，因其单位脉冲响应h(n)是有限长的，h(n)表示为Miiinxbny0)()(nMnbnhn其它00)(13IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，信号流图中存在反馈环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例：一阶IIR网络的差分方程为其单位脉冲响应为h(n)=anu(n)。)()1()(nxnayny14无限长脉冲响应（IIR）网络结构的特点：系统函数：()()MiiniNknkkbzHzhnzaz0011差分方程：()()()MNikikynbxniaynk011、含有反馈支路（输出不仅与输入有关，而且与输出的反馈有关）；2、单位脉冲响应是无限长的151）系统的单位冲击响应h(n)无限长IIR数字滤波器的特点：3）存在输出到输入的反馈（流图中有环路），递归型结构2）系统函数H(z)在有限z平面（）上有极点存在0z01()()()1MkkkNkkkbzYzHzXzaz系统函数：10()()()NMkkkkynaynkbxnk差分方程：基本网络结构有三种：直接型，级联型（串联型），并联型.165.3无限长脉冲响应（IIR）的基本网络结构5.3.1直接型网络结构将N阶差分方程重写如下：为简单起见,假设M=N=2()()()MNikikynbxniaynk01()()()ikikynbxniaynk220117等式右边第一部分是经过不同延时的输入信号再加权之和，即b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)，这部分的传输函数用H1(z)表示：第二部分是输出信号经过不同延时的加权和，传输函数用H2(z)表示：H1(z)和H2(z)H(z)=H1(z)H2(z)=Y(z)/X(z)'()()()iiiWzHzbzXz2110()()()YzHzWzazaz21221211()()()ikikynbxniaynk220118将H1(z)和H2(z)交换次序，H(z)=H2(z)H1(z)节点变量w1等于节点变量w2，即w1=w2。前后两部分经过延时,对应的节点变量也相等。可将前后两部分的延时支路合并成一个延时支路。（c）形式的信号流图称为IIR直接型（典范型）网络结构。()MiiiNkkkbzHzaz011191、直接Ⅰ型差分方程:10()()()NMkkkkynaynkbxnk需N+M个延时单元202、直接Ⅱ型（典范型）NM只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元，故称典范型。（）21()Hz分子多项式前向通路分母多项式反馈回路各种网络结构中使用的二阶基本单元都是直接Ⅱ型结构（典范型）22例设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为试画出该滤波器的直接型网络结构。解：根据系统函数表达式可见，流图含有四个前向通路和三个反馈环路（相互有接触），前向通路和反馈环路公用延时支路()zzzHzzzz123123841125311448由系统函数画信号流图，注意环路增益23()zzzHzzzz123123841125311448()Hz分子多项式前向通路分母多项式反馈回路24直接型结构的特点kakb系数，对滤波器的性能控制作用不明显极点对系数的变化过于灵敏（调整一个系数，多个极点的位置都会发生变换），易出现不稳定或较大误差运算的累积误差较大(误差通过反馈进行积累)(为了保持系统稳定，所有极点应在单位圆内)255.3.2级联型（串联型）网络结构21213.01.0112.07.01)(zzzzzH..()....()()..zzHzzzzzHzHzzz1111111211103104106105103104106105将系统函数分子分母分别因式分解，分解成简单的一阶或者二阶的形式，这些简单分式用直接型结构实现，然后级联形成级联型结构的系统26..()....()()..zzHzzzzzHzHzzz111111121110310410610510310410610527还可以如下式这样进行分解：..()()()..zzHzHzHzzz11341110410310610528级联型结构的特点：调整某一路的分子系数能单独调整滤波器的一组零点，而不影响其它零极点；调整某一路的分母系数能单独调整滤波器的一组极点，而不影响其它零极点；便于调整滤波器频率响应性能由于在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，因此运算的累积误差比直接型小。295.3.3并联型网络结构2113.01.017.01)(zzzzH将系统函数展成部分分式，每个部分分式一般是一阶或二阶的形式，每个部分用直接型结构实现，将这些直接型结构并联，形成并联型结构的系统例设系统函数如下式：试画出它的并联型结构图。302113.01.017.01)(zzzzH3.01.0)7.0()(2zzzzzH解首先将系统函数写成下式:)5.0)(6.0()7.0()(zzzzzH31将H(z)展开成部分分式:....().(.)(.)..().(.)||.().(.)||.()..zzzzHzzBCzzzzzHzzBzzzHzzCzzzHzzz060605051107060506050713060511072050611132111110610532并联型结构的特点：调整某一路的分母系数可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置（调整零点位置不如级联型方便）各并联基本节的误差互相不影响，无误差积累，故运算误差最小可同时对输入信号进行并行运算，故运算速度最高335.4有限长脉冲响应（FIR）网络结构的特点：系统函数：120120()()()()MnMMnYzHzhnzbbzbzbzXz差分方程：MkMknxkhMnxbnxbnxbnxbny0210)()()()2()1()()(1、没有反馈支路（输出只与输入有关）；2、单位脉冲响应是有限长的单位脉冲响应的值等于差分方程系数：h(n)=bnn=0,1,·····,M341）系统的单位脉冲响应h(n)有限长，设N点FIR数字滤波器的特点：0z2）系统函数H(z)在处收敛，有限z平面只有零点，全部极点在z=0处（因果系统）3）无输出到输入的反馈（流图中无环路），一般为非递归型结构10()()NnnHzhnz系统函数：z=0处是N-1阶极点有N-1个零点分布于z平面基本网络结构有三种：直接型，级联型（串联型），频率采样型355.4有限长脉冲响应（FIR）的基本网络结构5.4.1FIR直接型网络结构假设单位脉冲响应h(n)的长度是N，它的系统函数和差分方程用下式表示：1010)()()()()(NmNnnmnxmhnyznhzH36转置定理：原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。37差分方程:10()()()Nmynhmxnm385.4.2FIR级联型网络结构将系统函数因式分解，如果有虚根可以将共轭成对的根放在一起，形成具有实系数的二阶网络。例设FIR网络系统函数如下式：H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3画出它的直接型结构和级联型结构图。直接型39将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)按照上式画出它的级联型结构如图所示。级联型405.501nNFIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，且满足：()(1)hnhNn偶对称：()(1)hnhNn或奇对称：即对称中心在(N-1)/2处则这种FIR滤波器具有严格线性相位。41N为偶数时10()()NnnHzhnz11202()()NNnnNnnhnzhnz12(1)0()NnNnnhnzzh(n)偶对称，取“+”h(n)奇对称，取“-”42N为奇数时（中间项单独列出）10()()NnnHzhnz