数字信号处理-第四章(加绪论共八章)

11.线性相位FIR数字滤波器的特性2.窗口设计法（时间窗口法）3.频率取样法4.FIR数字滤波器的最优化设计（自学）5.IIR与FIR数字滤器的比较内容提要第四章FIR滤波器设计方法2滑动滤波器滑动滤波器的幅频相频特性3相位延迟4相位失真相位失真的影响54.1线性相位FIR数字滤波器的特性)(4.1.1线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即ddg)(式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为6线性相位FIR滤波器的DTFT为NnNnnnhnnhcossincossinjjNnnjjeHeHenheH)()(10Nnnnhsin10,121NnnNhnhN幅度函数H相位函数实部、虚部各自相等，实部虚部比值也相等sincoscossin)sin(三角和差公式7第一类线性相位的充要条件10,121NnnNhnhNNnnnhsin8第二类线性相位特性nNhnhN1221)(另外一种情况是：除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即利用类似的关系，可以得出新的解答为9nNhnhN1221第二类线性相位的充要条件1020)1(N20)5.0(N2偶对称)(nh奇对称)(nh线性相位特性114.1.2幅度特性1221,,2,1212)(,21)0(NnnNhnaNha1.h(n)偶对称，N为奇数h(n)=h(N-1-n)2/10cos)(NnnnaH13/211()()cos2NnHbnn2.h(n)偶对称，N为偶数h(n)=h(N-1-n)2,,2,1122)(NnnNhnb14()01Hz则是零点1cos02n时1z为零点故不能设计成高通、带阻滤波器()H对呈奇对称()0,2H对呈偶对称/211()()cos2NnHbnn15121()()sin()NnHcnn1()22Ncnhn3.h(n)奇对称，N为奇数h(n)=-h(N-1-n)11,...,2Nn160,,2sin()0n时()01Hz则是零点121()()sin()NnHcnn()0,2H故对，呈奇对称sin()0,2n因对，呈奇对称只适合设计带通17/211()()sin2NnHdnn11,...,2Nn4.h(n)奇对称，N为偶数h(n)=-h(N-1-n)()22Ndnhn18()01Hz则是零点10,2sin02n时h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时()0,2H对呈奇对称()H对呈偶对称/211()()sin2NnHdnn不能设计低通、带阻194.1.2幅度特性对=0,,2偶对称对=0,2偶对称对=奇对称对=0,,2奇对称对=0,2奇对称对=偶对称不能设计成高通、带阻滤波器只能设计成带通滤波器不能设计低通、带阻滤波器20四种线性相位FIRDF特性，参考P142表4.1第一种情况，偶、奇数，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶数，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇数，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶数，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。21例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数H(ω)。解Ｎ为奇数并且h(n)满足偶对称关系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(3)=-1a(2)=2h(4)=-1H(ω)=2-cosω-cos2ω=2-(cosω+cos2ω)224.1.2小结•四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。•幅度特性取决于h(n)。•设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移π。234.1.3线性相位FIR滤波器的零点特性)1()(nNhnh10NnnznhzH101NnnznNh11101101)(zHzzmhzzmhNNmmNNmmN11zHzzHN2）h(n)为实数，则零点共轭成对()0iHz1）若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也是零点(1)1()()0NiiiHzzHz一定是零点是零点，则即：iiNnnNnnzzzHznhznhzHnhnh)()()(**101024线性相位FIR滤波器的零点特性单位脉冲响应为实数的线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对，即共轭成对且镜像成对一定是零点、、是零点，则iiiizzzz11254.2窗口设计法（时域）10()()()NjjnjdnHehneHe1()2jjnddhnHeed()()()dhnwnhnw(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度26理想低通滤波器的幅度响应及脉冲响应27截短并移位的脉冲响应过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2)28实际滤波特性0.529设计步骤：)()(nheHdjd设)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj1）由定义)())(()2jeHnhDFT3）卷积1.由理想频率响应得到理想的；由得到因果、有限长的单位抽样响应；2.对加窗得到较好的频率响应。)(jdeH)(nhd)(nhd)(nh)(nhd123330一.矩形窗口法则)())(sin(2121)(nndeedeeHnhcnjjnjjddcca.对于给定的理想低通滤波器，计算：低通滤波器的延时)(nhd31理想特性的hd(n)和Hd(ω)非因果这是一个以为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时应为h(n)长度N的一半,即2/)1(N32为其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中b.计算)(nh33c.计算设为窗口函数的频谱:用幅度函数和相位函数来表示，则有其线性相位部分则是表示延时一半长度，nNnjjNnjnjRjeeeenweW1011)()()2/sin()2/sin(21NeNjjRjeWeW)()()(jeH)(*)()(jRjdjeWeHeH21221jNjNjeee乘342/sin2/sinNWR对频响起作用的是它的幅度函数Mainlobe35理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式其中幅度函数为两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有||0||1)(ccdHdeWeHeWeHeHjRjdjRjdj][)(21)(*)()()(jdjdeHeH)()(36deWeHjRjd)()()(21dWHeRdj)()(21)(jeH)(H如果也以幅度函数和相位函数来表示,则实际FIR滤波器的幅度函数为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。jjeHeH)()(dWHHRd)()(21)(deWeHeWeHeHjRjdjRjdj][)(21)(*)()()(37dWHHRd)()(21)(矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）3839)()()(jjdjeWeHeH|Hd(ejω)|N-1|W(ejω)|nhd(n)0h(n)=hd(n-N/2).w(n)N-1w(n)GibbsPhenomenon吉布斯效应波纹过渡带旁瓣主瓣40吉布斯效应及改善：这种由于截断而产生的理想滤波器的幅度特性的波动现象称为吉布斯效应。它使得截断后产生的FIR滤波器特性与理想特性之间有误差。分析误差产生的原因和影响误差的因素可以设计出特性更加好的FIR滤波器。N=8N=16N=32c)(jeH41结论：为了改善逼近效果，需要选用主瓣狭窄，旁瓣相对低的窗函数。但这两项要求往往不能同时满足。因为过渡带宽可以用提高阶数N来满足设计要求，所以工程上主要是选取旁瓣相对低的窗函数来对理想冲击响应序列进行截断。（1）对于窗函数截断处理后的吉布斯效应会在通带内产生波动，波动次数与截取长度N（FIR滤波器的阶数）有关，但波动的肩峰（最大波动幅度处）幅度与N无关，取决于窗函数的旁瓣幅度特性)(jeW。讨论：（2）过渡带宽度与阶数N有关，对于矩形窗函数此宽度为N4。相同的阶数N，不同的窗函数产生的过渡带宽度不同。它主要取决于窗函数频谱)(jeW的主瓣宽度。（3）在阻带内也会产生波动，波动次数与截取长度N（FIR滤波器的阶数）有关，但波动的肩峰（最小阻带衰耗处）幅度与N无关，取决于窗函数的旁瓣幅度特性)(jeW。42窗函数要满足以下两点要求：①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。43()()NwnRn1.矩形窗4N主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大1120()()NNjjjnRRnWewneWe窗谱：sin2()sin2RNW幅度函数：442.汉宁窗（升余弦窗）利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W（ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：)(]12cos1[21)(nRNnnwN)(25.0)(5.01212nReenRNNnjNnjN211221122121121225.05.0]1212[25.05.0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNWeNWeWeW45)12()12(25.0)(5.0)(NWN旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣主瓣宽度增加463.汉明窗（改进的升余弦窗）它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱