45极坐标

第十三篇坐标系与参数方程(选修4—4)第1节坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:'0,'0xxyy的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系(1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的,记为ρ.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).极角极径(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=,y=,由此得ρ2=,tanθ=0yxx.ρcosθρsinθx2+y23.常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2rcosθ(-π2θ≤π2)圆心为π,2r,半径为r的圆ρ=2rsinθ(0≤θπ)过极点,倾斜角为α的直线θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)过点(a,0),与极轴垂直的直线ρcosθ=a过点π,2,与极轴平行的直线ρsinθ=a夯基自测1.直线3x-2y+1=0经过变换'3,'2xxyy后的直线方程为.解析:由变换'3,'2xxyy得',3',2xxyy代入直线方程,得3×'3x-2×'2y+1=0,得x′-y′+1=0,即变换后的直线方程为x-y+1=0.答案:x-y+1=02.(2015高考北京卷)在极坐标系中,点π2,3到直线ρ(cosθ+3sinθ)=6的距离为.解析:由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点(2,π3)对应的直角坐标为(1,3),直线ρ(cosθ+3sinθ)=6对应的直角坐标方程为x+3y=6,由点到直线距离公式可得,所求距离为22133613=1.答案:13.(2015高考安徽卷)在极坐标系中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=π3(ρ∈R)距离的最大值是.解析:圆ρ=8sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=8y,即x2+(y-4)2=16,直线θ=π3(ρ∈R)化为直角坐标方程为y=3x.圆心(0,4)到直线3x-y=0的距离d=22431=2.又圆的半径为4,故圆上的点到直线距离的最大值是2+4=6.答案:64.(2014高考广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.解析:C1的方程可化为ρ2sin2θ=ρcosθ,即y2=x,C2的方程可化为y=1,由2,1,yxy得1,1.xy所以C1与C2交点的直角坐标为(1,1).答案:(1,1)5.给出下列命题:①点(3,2)经过伸缩变换:3',2'xxyy后所得点的坐标为(1,1);②将函数y=sin2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sinx的图象;③在极坐标系中,点(2,π3)与(2,-5π3)为同一点;④在极坐标系中,方程ρcosθ=1表示圆.其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)解析:①正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为:1',31'2xxyy，则点(3,2)经过变换后的点的坐标为(1,1);②正确.将函数y=sin2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin[2(12x)]=sinx的图象;③正确.极坐标系中,点(2,π3)与(2,π3+2kπ)(k∈Z)为同一点.④错误.极坐标系中,方程ρcosθ=1表示垂直于极轴的直线.答案:①②③考点专项突破在讲练中理解知识考点一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆x2+y2=1变换为椭圆29x+24y=1.解:设伸缩变换为'0,'0,xxyy由题知229x+224y=1,即23x2+22y2=1.与x2+y2=1比较系数,得221,31,2故3,2,所以伸缩变换为'3,'2xxyy即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆29x+y2=1,再将该椭圆的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到椭圆29x+24y=1.反思归纳平面上的曲线y=f(x)在变换:'0,'0xxyy的作用下得到的方程的求法是将','xxyy代入y=f(x),得'y=f'x,整理之后得到y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.【即时训练】若函数y=f(x)的图象在伸缩变换:'2,'3xxyy的作用下得到曲线的方程为y′=3sin(x′+π6),求函数y=f(x)的最小正周期.解:由题意,把变换公式代入曲线y′=3sin(x′+π6)得3y=3sin(2x+π6),整理得y=sin(2x+π6),故f(x)=sin(2x+π6).所以y=f(x)的最小正周期为2π2=π.考点二极坐标与直角坐标的互化【例2】(2015高考新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2,故ρ1-ρ2=2,即|MN|=2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为12.反思归纳(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.【即时训练】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcosπ3=1(0≤θ2π),M,N分别为C与x轴、y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;解:(1)由ρcosπ3=1得ρ13cossin22=1.从而C的直角坐标方程为12x+32y=1,即x+3y=2.当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).当θ=π2时,ρ=233,所以N23π,32.(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解:(2)M点的直角坐标为(2,0).N点的直角坐标为230,3.所以P点的直角坐标为31,3,则P点的极坐标为23π,36,所以直线OP的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).简单曲线的极坐标方程及应用考点三【例3】在极坐标系中,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ与ρcosθ=-1(0≤θ2π),求:(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标;解:(1)由公式cos,sinxy得曲线C1:ρ=2sinθ与C2:ρcosθ=-1(0≤θ2π)的直角坐标方程分别为x2+y2=2y,x=-1.联立方程组,解得1.1.xy由公式22,tan0xyyxx得点P(-1,1)的极坐标为(2,3π4).(2)过点P被曲线C1截得弦长为2的直线的极坐标方程.解:(2)由(1)可知,曲线C1:ρ=2sinθ即圆x2+(y-1)2=1,如图所示,过P(-1,1)被曲线C1截得弦长为2的直线有两条:一条过原点O,倾斜角为3π4,直线的直角坐标方程为y=-x,极坐标方程为θ=3π4(ρ∈R);另一条过点A(0,2),倾斜角为π4,直线的直角坐标方程为y=x+2,极坐标方程为ρ(sinθ-cosθ)=2,即ρsin(θ-π4)=2.反思归纳(1)求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.(2)极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.(3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性.【即时训练】已知☉O1和☉O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2asinθ(a是非零常数).(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若两圆的圆心距为5,求a的值.解:(1)由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ.所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.由ρ=2asinθ得ρ2=2aρsinθ.所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay,即x2+(y-a)2=a2.(2)O1与☉O2的圆心距为221a=5,解得a=±2.备选例题【例1】求直线ρ=53cos2sin关于θ=π4(ρ∈R)对称的直线方程.解:法一设点P(ρ,θ)为所求直线上一点,该点关于θ=π4(ρ∈R)的对称点为P0(ρ0,θ0),则00,π,2所以00,π.2又P0(ρ0,θ0)在已知直线上,所以ρ=5ππ3cos2sin22=53sin2cos.故所求直线方程为ρ=53sin2cos.法二ρ=53sin2cos化为直角坐标方程为3x-2y=5,θ=π4(ρ∈R)化为直角坐标方程为y=x,3x-2y=5关于y=x的对称直线方程为3y-2x=5.化为极坐标方程为3ρsinθ-2ρcosθ=5,即ρ=53sin2cos.【例2】在极坐标系中定点A(1,π2),点B在直线l:ρcosθ+ρsinθ=0(0≤θ2π)上运动,当线段AB最短时,求点B的极坐标.解:因为ρcosθ+ρsinθ=0,所以cosθ=-sinθ,tanθ=-1.所以直线l的极坐标方程化为θ=3π4(ρ∈R)(直线如图).过A作AB垂直l,垂足为B,此时AB最短.易得|OB|=22.所以B点的极坐标为(22,3π4).【例3】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ,点P为☉C上一动点,点M的极坐标为(4,π2),点Q为线段PM的中点.(1)求点Q的轨迹C1的方程;解:(1)由☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,所以☉C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,又点M的极坐标为(4,π2),所以点M的直角坐标为(0,4).设点P(x0,y0),点Q(x,y),则有20x+(y0-1)2=1.(*)因为点Q为线段PM的中点,所以002,24,xxyy代入(*)得轨迹C1的方程为x2+252y=14.(2)试判定轨迹C1和☉C的位置关系,并说明理由.解:(2)因为☉C的直角坐