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第1页（共17页）2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．复数z=i（﹣1+3i）在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知=（1，2），=（﹣1，m），若∥，则m=（）A．﹣B．C．﹣2D．23．函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．已知直线l1：x+ay﹣2=0，l2：x﹣ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若实数x，y满足，则x﹣y的最小值等于（）A．﹣2B．0C．2D．37．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（）A．5B．6C．7D．88．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π9．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）第2页（共17页）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+411．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a12．已知圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0，直线l：ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0），若直线l始终平分圆C，则ab的最大值为（）A．B．C．1D．2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合U={0，1，2}，A={x|x2=x，x∈R}，则∁UA=．14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2，则a16=．15．在平面直角坐标系中，角α的终边过点P（1，2），则cos2α+sin2α的值为．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0的解集为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在平面直角坐标系xOy中，∠CAB=60°，AC=2，BC=．（1）求△ABC的面积；（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象经过A、C、B三点，求ω和φ的值．第3页（共17页）18．某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否喜欢该节目的人数如图所示：喜欢不喜欢合计10岁至30岁ab30岁至50岁cd合计（1）写出列表中a，b，c，d的值；（2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在30﹣50岁之间的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，BC=3，AB=B1C=5，点D是线段AB的中点，四边形ACC1A1为正方形．（1）求证：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥D﹣B1C1C的体积．20．已知函数f（x）=（1﹣a2）lnx﹣x3．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=ex﹣﹣2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）﹣k＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．21．已知△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣，0）、（，0），C为动点，且满足sinB+sinA=sinC．（1）求点C的轨迹L的方程；（2）设M（x0，y0）是曲线L上的任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交曲线L于点P、Q．①若直线OP、OQ的斜率均存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；②试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．第4页（共17页）请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是圆O的直径，点F在弧BC上，点A为劣弧的中点，作AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，与AC交于点G．（1）求证：AE=BE；（2）若圆O的半径为5，AB=6，求AG．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）已知点P（1，0），直线l与曲线C交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]第5页（共17页）2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．复数z=i（﹣1+3i）在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数z，根据其代数形式的几何意义找出平面中对应的点的坐标，由坐标判断复数对应的点所在的象限【解答】解：复数z=i（﹣1+3i）=﹣i﹣3=﹣3﹣i，∴z在复平面上对应的点的坐标为（﹣3，﹣1），在第三象限．故选：C．2．已知=（1，2），=（﹣1，m），若∥，则m=（）A．﹣B．C．﹣2D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：=（1，2），=（﹣1，m），若∥，可得﹣2=m，则m=﹣2．故选：C．3．函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的解析式可得f（﹣1）f（0）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间．【解答】解：由函数的解析式可得f（﹣1）=﹣1+=﹣＜0，f（0）=0+1=1＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（﹣1，0），故选：B．4．如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）第6页（共17页）A．1个B．2个C．3个D．无数个【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论．【解答】解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又∵输入的x值与输出的y值相等，当x≤0时，x=|x|，解得x=0，当x＞0时，x=，解得x=1或﹣1（舍去）．故满足条件的x值共有2个．故选：B．5．已知直线l1：x+ay﹣2=0，l2：x﹣ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】“l1⊥l2”⇔“1+a•（﹣a）=0”⇔“a=﹣1，或a=1”，进而结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣2=0，直线l2：x﹣ay﹣1=0，∴“l1⊥l2”⇔“1﹣a•a=0”⇔“a=﹣1，或a=1”，故“a=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选：A．6．若实数x，y满足，则x﹣y的最小值等于（）A．﹣2B．0C．2D．3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．第7页（共17页）【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=x﹣y，则y=x﹣z，联立，解得A（﹣1，1），由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：A．7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（）A．5B．6C．7D．8【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知第n天植树的棵数an=2n﹣1，即{an}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出植树所需要的最少天数．【解答】解：∵第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，∴第n天植树的棵数an=2n﹣1，即{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∵某住宅小区计划植树不少于100棵，∴Sn==2n﹣1≥100，∴n≥7．植树所需要的最少天数为7天．故选：C．8．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知中一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，我们可以求出该圆的半径，其中根据球半径、截面圆半径及球心距构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以求出球半径，进而代入球的表面积公式，即可得到该球的表面积．【解答】解：由已知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，故该圆的半径为1，故球的半径为，故该球的表面积S=4πR2=8π第8页（共17页）故选：B．9．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点，即有c=5，求得渐近线方程即有=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点为（5，0），即有双曲线的焦点为（±5，0），设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则c=5，由渐近线方程为y=±x．则有=，又a2+b2=c2，解得a=4，b=3，则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．第9页（共17页）【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为S几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．11．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，且b=f（1），容易得出，从而由增函数的定义即可得出a，b，c的大小关系，从而找出正确选项．【解答】解：根据题意，f（x）在（0，+∞）上单调递增；且b=f（﹣1）=f（1）；又