经典层次分析法分析及实例教程

层次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。二层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1建立层次结构模型一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型准则层方案层目标层设某层有个因素，nnxxxX,,,21ijaijjiijaa1nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA212222111211An2构造成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。１３５７９尺度第个因素与第个因素的影响相同ij第个因素比第个因素的影响稍强第个因素比第个因素的影响强第个因素比第个因素的影响明强第个因素比第个因素的影响绝对地强iiiijjjj含义比较尺度：（1~9尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。jijiijaa12468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579ija相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC:jiCC:~aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反•心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个•用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。•便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量由上述定义知，成对比较矩阵nnijaA01ijajiijaa12则称为正互反阵。比如，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：满足一下性质ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/531113iia54321,,,,AAAAA由上表，可得成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？3层次单排序及一致性检验nn层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如一块石头重量记为1，打碎分成各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵11121212121由右面矩阵可以看出，jkkiji即，nji,,2,1,1321231321234,2,7aaaaaaAijkjikaaaijkjikaaaAnjiaaaiijiij,,2,1,,1,1.1也是一致阵TA.21.3ArankA的各行成比例，则但在上例的成对比较矩阵中，在正互反矩阵中，若,则称为一致阵。一致阵的性质：。特征根均等于个其余的最大特征根（值）为01,.4n-nλAA5.的任一列(行)都是对应于特征根的特征向量。n若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征向量，且定理：阶互反阵的最大特征根，当且仅当时，为一致阵。Ann11niiwiwinnnA表示下层第个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则Anw（为什么？）这样确定权向量的方法称为特征根法.1nnCI由于连续的依赖于，则比大的越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量nijanAA的不一致程度。定义一致性指标其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。AnARI50021,,,AAA50021,,,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标定义随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵随机一致性指标RI的数值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511.0RICICRAA一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对加以调整。时，认为A4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行。设：Z1A2AmA1B2BnB,,,,21mAAAmA个因素层对总目标Z的排序为maaa,,,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为),,2,1(,,,21mjbbbnjjj即层第个因素对总目标的权值为：BnmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:::Bimjijjba1层的层次总排序为：B层的层次总排序mAAA,,,21maaa,,,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,,,21A),,2,1(mjAjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111.0CR当时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。四层次分析法的优点和局限性1系统性层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：第一只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。第二该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。第三从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。思考：多名专家的综合决策问题五正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。定理对于正矩阵A（A的所有元素为正）1）A的最大特征根为正单根；2）对应正特征向量w（w的所有分量为正）；3）weAeeAkTkklim其中T,,,)(111ew是对应的归一化特征向量。1幂法步骤如下a)任取n维归一化初始向量)(0wb)计算,,,,~)()(2101kkkAww)(~1kwc)归一化，即令nikikkw1111)()()(~/~wwd)对于预先给定的精度，当下式成立时n,,iwwkiki,,21)()1()(1kw即为所求的特征向量；否则返回b；e)计算最大特征值nikikiwwn111)()(~这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性由定理的3）保证。2和法步骤如下a)将A的每一列向量归一化得b)对c)归一化niijijijaaw1/~ijw~按行求和得njijiww1~~Tn)~,,~,~(~21wniiii~/~Tn),,,(21wd)计算Aw3根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b改为对ijw~按行求积并开n次方，即nijniiww11~~三方法中，和法最为简便。看下列例子。e)计算niiiwn11)(Aw，最大特征值的近似值。141614121621///A列向量归一化091007701036403080305450615060.........求和268097207601...归一化w089032405870...精确计算，得0133090032205880.),.,.,.(w268097407691...Aw009308902680324097405870769131.)......(