复习拉普拉斯变换

1在经典控制理论中，系统的数学模型是建立在传递函数基础上的，而传递函数的概念是建立在拉氏变换基础上的，所以拉氏变换是经典控制理论的数学基础。微分方程代数方程取变换解S域方程时域响应反变换直接解微分方程复习拉普拉斯变换(附录C)21、拉普拉斯变换定义设f(t)是时间t的函数，当t0时，f(t)=0；则f(t)的拉普拉斯变换定义为：0()()[()]stFsftedtLft是的象函数，或称的拉普拉斯变换。是的原函数或拉普拉斯反变换。)(sF)(tf)(tf)(tf)(sF式中是复变量s＝σ＋jw变换对：f(t)F(s)电压：u(t)U(s)电流：i(t)I(s)3常采用的典型信号的函数图像（a）单位阶跃信号（c）单位加速度信号（b）单位斜坡信号（d）单位脉冲信号4例1阶跃函数的拉氏变换1t0f(t)单位阶跃函数()1()ftt已知单位阶跃函数为：001[()]1()|ststeLfttedtss则有：可得反变换:111Ls5例2求指数函数的拉氏变换()0(0)(0)atfttet()()0||()()1satsateesasasa11[]atLesa于是可得反变换已知指数函数为：()00[()]atstsatLfteedtedt则有:6例3求斜坡函数的拉氏变换()0(0)(0)ytttt11ty(t)已知单位斜坡函数为：单位斜坡函数00002[()]|11ststststLfttedteetdtssedtss则有：于是可得反变换：121Lts1!nnnts推广7例4时间迟延函数的拉氏变换ta)(atf)(tf延迟a个时间单位,可表示成)(00ttf）（设0)(atfat时0)()()(aasstdefdteatf则可完成以下变换00)()()(defedefsasas）（）（sFeatfLas][即atf(t)0图延迟函数于是如令8例5单位脉冲函数的拉斯变换单位脉冲函数为：1)(000)(dttttt单位脉冲函数的拉普拉斯变换为1)()()(0000dtetdtettLsFsst9(t)11(t)S1t21Sateas1tsin22S常用函数拉氏变换对照表tcos22SS原函数f(t)象函数F(S)详见P275附录B10⑴线性性质线性系统的主要特征是具有齐次性和叠加性。2、拉氏变换的性质例ttAtf21cossin)()()(),()(2211sFtfsFtf若)()()()(22112211sFasFatfatfa则解：2222121)(ssssAsF例：已知，求的拉氏变换。tetf21)()(tf解：)2(2211)]([)(sssstfLsF11如2、微分性质)()(sFtf若)0()()(fssFtf则)]0()([d)(dcccussUCttuC表明：函数f(t)求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘以复量s，再减去原函数f(t)在0时的值。)]0()([d)(dLLLissILttiL推广：)0()0()()(2fsfsFstf1213140,e)(2)(3)(3ttytytyt。求)(,2)0(,1)0(sYyy解对方程取拉氏变换，得31)(2)]0()([3)]0()0()([2ssYyssYysysYs即2816()(1)(2)(3)ssYssss例：设有方程)0()0()()(2fsfsFstf153、积分性质)()(sFtf若ssFft)(d)(0则表明：一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象函数除以复量s。如tiCutu0ccd)(1)0()(则sCsIsusU)()0()(cc164、位移性质若，则)()(sFtfL)()]([asFtfeLat例求teatsin的拉氏变换。22)(]sin[asteLat22][sinstL解：因为故：175、延时性质)()(sFtf若()()sfteFs则如图所示，原函数沿时间轴平移τ，平移后的函数为f(t-τ)18拉氏变换基本定理)()()]()([22112211sFasFatfatfaL)()]([asFtfeLat)()]([sFetfLs)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(lim0ssFtfst()[]()(0)dftLsFsfdtssFdttfL)(])([相似定理)(][asaFatfL）（终值定理初值定理积分定理微分定理位移定理线性定理延时定理22'2()[]()(0)(0)dftLsFssffdt；指数函数的拉氏变换[()]()LftFs19课堂练习1、求拉氏变换3()1,()tfteFs已知求11()3Fsss解：2、()1ftt211()Fsss3、3()tftte21()(3)Fss203、拉普拉斯反变换)()()()(21sFsFsFsFn如果能分解成为如下形式)(sF并假定各分项的拉氏反变换可以容易地求出，那么)()()()(121111sFLsFLsFLsFLn)()(21tfftfn对于一般形式的拉普拉斯变换如何求其反变换？由象函数F(s)求原函数f(t)的运算叫拉普拉斯反变换。21342)(2ssssF例已知，求?)(tf解.121122321313(1)(3)CCCsCCsCsF(s)(s)(s)ssss1212132CCCC321121ssF(s)tteef(t)32121120.50.5CC解得：留数法系数比较法（解系数方程）22拉普拉斯反变换留数法一般有)(......)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm设)())((...)(21011nnnnnpspspsasasasA121121()[()]ninptptptptniiftLFsaeaeaeae其中：limiiispa(sp).F(s)-Pi是A(s)=0的根12112nniiniaaaaF(s)spspspsp1.当的所有根均为不同实根时()0As等式两边分别乘以（s+pi)23拉普拉斯反变换练习1223)2)(1(3)1(111ssssssssa22233(2)1(1)(2)1ssssassss233)(2ssssF像函数21)2)(1(3)(21sasassssF部分分式展开为)0(2)()(21teetfsFLtt因此[()]kkkspaspFs（）240,e)(2)(3)(3ttytytyt。求)(,2)0(,1)0(sYyy解对方程取拉氏变换，得31)(2)]0()([3)]0()0()([2ssYyssYysysYs即2816()(1)(2)(3)ssYssss例：设有方程)0()0()()(2fsfsFstf求上述微分方程的解y(t)课堂练习252816()(1)(2)(3)ssYssss所以y(t)=L1[Y(s)]=4.5et4e2t+0.5e3t2312816()(1)(2)(3)123aaassYsssssss解：2118161816lim(1)4.5(1)(2)(3)2sssassss22281641616lim(2)4(1)(2)(3)1sssassss23381692416lim(3)0.5(1)(2)(3)2sssassss26223)(2ssssF例4已知，求?)(tftetef(t)ttsin2cos解.22113)(ssF(s)22221112111)(s)(ss221121)(ss可用配方（比较系数）的方法解2.当有共轭复根时()0As[()]kkkspaspFs（）12112nniiniaaaaF(s)spspspsp27拉普拉斯反变换练习252122)(2ssssF像函数1()()5sin22cos2ttLFsftetet因此22)(sinsteLt22)(cossasteLt由于222222)1(122)1(2552122)(sssssssF像函数展成28111222111()()aaBsF(s)sp(sp)(sp)1121112121limlimspspa(sp)F(s)da(sp)F(s)ds3.当有重根时(以二重根为例)()0As29例设，求f(t)。123)(2ssssF解1)1()1(3123)(1221122sKsKssssssF其中2)1(3)1()()1(1221211ssssssFsK1)3(dd])1(3)1([dd)]()1([dd11221212ssssssssssFssK0,ee2)(tttftt则11)1(2)(2sssF22231212()(1)(1)(1)(1)ssFsssss另解30)1(1)(2sssF例已知，求?)(tf解.3111221cccF(s)sss21111F(s)sss1tf(t)te211201lim11sCss(s)212220011limlim111ssdCsdss(s)(s)1111lim213)(ss)(sCs312)3)(2(1)(ssssF，求?)(tf解.311122332cccF(s)(s)ss2211332F(s)(s)ss3322tttf(t)teee211231lim332ssC(s)(s)(s)2122313)(21223311lim3lim1322ssdsdC(s)ds(s)(s)dss231lim1(2)ss)(s)(sssCs231)2(lim2231课堂练习32习题1、求拉氏变换3()tftte()sin5tftet2、求拉氏反变换121()[()]56sFsLFsss求：23(),21sFsftss求（）