2018全国高中数学联赛一试模拟题1

2018全国高中数学联赛一试模拟题1学校年级姓名一、填空题（本大题共10题，每题8分，共80分）1.若对任意的[,2]xaa，均有2xax，则实数a的最大值为2.已知自然数1k，k个连续自然数的和为2016，则k可取值的个数为3.若点(,)Pab满足11121xyxyx，记函数()sincosfabc（c为任意实数）的最大值(,,)Mabc，则(,,)Mabc的最小值为4.用[]x表示不超过实数x的最大整数，则211sin2018的值是5．将边长为3，6，7的三角形沿三条中位线折起来围成四面体，则四面体外接球的体积为6．已知抛物线24yx，P为x负半轴上一点，PA为抛物线的切线，A为切点，过A作AB垂直于PA，交抛物线于点B。则当OB（O为坐标原点）最小值时，点P的横坐标为7．已知向量,,,,abcde满足323abcab，0ca,()()0dadb,()()0eaec，则de的最大值是8．已知正实数,()xyxy满足490xy，且143(lglg7)(lglg7)4xy，则在十进制表示下x的整数部分有位。9．设集合125,,,aaa,1,2,,5iaRi。若组成A中的所有四元子集的四个元素之积组成的集合为B=2,3,4,6,9，则集合A中的元素之和为10．设函数32331()248fxxxx，则20161()2017iif的值为二、解答题（本大题共5题，共120分）11．（满分20分）问：能否找到两个实数，使得这两个数之和的常用对数是它们的常用对数的乘积，而两数之差的常用对数是它们的常用对数的商？请说明理由.12.（满分20分）已知圆221:4Cxy，抛物线22:4Cyx，过抛物线2C上一点P（异于原点）作切线l，与圆1C交于A、B两点.（1）求切线l在x轴上截距的取值范围；（2）求△AOB面积S的最大值.13.(满分20分）已知正数数列满足211a，*))((221Nnaaannn。（I）求证：对所有正整数n，均有211nnaa；（II）若311a，求证：)1(211121naaan14.(满分30分）二次函数)(xfy的二次项系数为1，并且一次项系数和常数项都是整数，若0)((xff有四个不同的实数根，并且可以按照一定的顺序排列成等差数列。试求)(xf，使其系数的和最小。15.(满分30分）已知Rdcba,,,，求证：)(9)8()8()8()8(dcbabadbadcadcbdcbac