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知识体系圆基本性质直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系概念对称性垂径定理圆心角、弧、弦之间的关系定理圆周角与圆心角的关系切线的性质切线的判定切线的作图弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算正多边形和圆位置分类性质公切线的作图关系定理有关计算圆的有关性质圆的定义（运动观点）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”圆的定义辨析•篮球是圆吗？–圆必须在一个平面内•以3cm为半径画圆，能画多少个？•以点O为圆心画圆，能画多少个？•由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？–半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置•圆是“圆周”还是“圆面”？–圆是一条封闭曲线•圆周上的点与圆心有什么关系？圆的定义（集合观点）•圆是到定点的距离等于定长的点的集合。–圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；–到定点的距离等于定长的点都在圆上。•一个圆把平面内的所有点分成了多少类？•你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？点与圆的位置关系•圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。•圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。•圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。•由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：点在圆上d=r点在圆内dr点在圆外dr与圆有关的概念•弦和直径–什么是弦？什么是直径？–直径是弦吗？弦是直径吗？•弧与半圆–什么是圆弧（弧）？怎样表示？–弧分成哪几类？–半圆是弧吗？弧是半圆吗？•弓形是什么？•同心圆、同圆、等圆和等弧–怎样的两个圆叫同心圆？–怎样的两个圆叫等圆？–同圆和等圆有什么性质？–什么叫等弧？点的轨迹•把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。–图形上的任何一点都符合条件；–符合条件的任何一点都在图形上。•圆是什么点的轨迹？•垂直平分线是什么点的轨迹？•角平分线是什么点的轨迹？圆的有关性质过三点的圆思考：确定一条直线的条件是什么？类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？讨论：经过一个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？OCAB经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定在三角形内吗？OCAB∠C＝90°OCAB▲ABC是锐角三角形OCAB▲ABC是钝角三角形垂直于弦的直径及其推论想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。OCDABOCDAB观察右图，有什么等量关系？OBCDAE垂直于弦的直径AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC,AE＝BE。OBCDAE垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！OABE若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？2222adr变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDOABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____。FDFBOABCD变式4：______AC=BD.OA=OBOABCD变式5：______AC=BD.OC=OD•如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MAPBO关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分弧ACB⑤直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？OBCDAE①③②④⑤②③①④⑤①④②③⑤②④①③⑤①②⑤①②④④⑤①②③③④③⑤（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。OBCDAE如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。FOBAECD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆的性质•圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。•圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。•圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。圆心角：顶点在圆心的角。（如：∠AOB）C弦心距：从圆心到弦的距离。（如：OC）OAB如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。定理相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，OABCA'B'C'圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）1°圆心角1°弧OABCDn°圆心角n°弧把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一般地，n°的圆心角对着n°的弧。圆周角切线判定的方法•利用切线定义•利用圆心到直线的距离等于半径•利用切线判断定理•辅助线技巧：–若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直–若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。切线的性质重点内容•切线判定：直线l：①过半径外端②垂直于半径•切线性质：切线l，A为切点：OA⊥l切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线判定与性质典型例题•已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。•如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切。DCOBAFDCBAEO切线性质定理的推广•性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径•推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点•推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论概括出来吗？如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心。切线的判定和性质•判定切线的三种方法：–和圆只有一个公共点的直线是圆的切线–和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线–过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线定义本质一样表达不同定理①过圆心②过切点③垂直于切线，随便知两个就可推出第三个•切线的主要性质：–切线和圆只有一个公共点–切线和圆心的距离等于半径–切线垂直于过切点的半径–经过圆心垂直于切线的直线必过切点–经过切点垂直于切线的直线必过圆心•主要辅助线：–利用切线性质时，常作过切点的半径–证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什么时候“作垂线”三角形的内切圆重点内容OABC如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆的面积尽可能的大？OABC和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形内角平分线的交点。三角形的内心是否也有在三角形内、三角形外或三角形上三种不同情况。•在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数。（1）点O是三角形的内心（2）点O是三角形的外心•△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。求证：DE＝DB。ABCODABCE关于三角形内心的辅助线：连结内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这一内角。垂心重心外心内心交点性质位置三条高线的交点三条角平分线的交点三边垂直平分线的交点三条中线的交点在形内、形外或直角顶点在形内、形外或斜边中点在形内在形内到三角形各顶点距离相等到三角形三边距离相等把中线分成了2:1两部分已知△ABC的内切圆半径为r，求证：△ABC的面积S△ABC＝sr。（s为△ABC的半周长）ABCO三角形的外接圆：三角形的内切圆：ABCIOI特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R=—c2r=————a+b-c2ABCabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法等边三角形外接圆、内切圆半径的求法基本思路：构造三角形BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。ABCODRr圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。CBADOEF∠D＋∠B＝180°∠A＋∠C＝180°∠EAB＝∠BCD∠FCB＝∠BAD对角外角内对角又一种重要的辅助线FEDCBAO2O1如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF•有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。•此图形是一个考试热门图形。思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？ECBAO2O1FD切线长定理切线长的定义以及定理切线与切线长的区别：•切线是直线，不能度量。•切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB切线长定理：•题设：从圆外一点引圆的两条切线•结论：①切线长相等，②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角•几何表述：PBAODCPBAO•如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，直线OP交⊙O于点D，交AB于点C。–写出图中所有的垂直关系–写出图中所有的全等三角形–写出图中所有的相似三角形–写出图中所有的等腰三角形–若PA＝4cm，PD＝2cm，求半径OA的长–若⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，求切线长及这两条切线的夹角度数PABOCPO平分∠AOBPO垂直平分ABPO平分弧ABPA＝PBPO平分∠APB圆的外切四边形的重要性质•四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相交相切于点L、M、N、P。观察图并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。CBADPLMNO圆的外切四边形的两组对边的和相等AB＋CD＝AD＋BC弦切角OCBADE弦切角的定义•弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。•要点：–顶点在圆上–一边和圆相交–一边和圆相切判断下列各图形中的∠A是不是弦切角，并说明理由。COABOCABOCABOCAB还记得什么是分类讨论吗？还记得什么是化归吗？还记得什么是完全归纳法吗？OCBADE弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若弧AB＝弧AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？为什么？COADEB若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。•等腰梯形各边都与⊙O相切，⊙O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_____。圆的外切四边形的两组对边的和相等AB＋CD＝AD＋BC868CBADPLMNO与圆有关的比例线段•相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。POCDABPA·PB=PC·PD•切割线定理从圆外