多边形的镶嵌(公开课)

育英学校：夏全会2015.5.26知识回顾1.n边形的内角和公式为________________(n为大于或等于3的整数）。2.正n边形每一个内角的度数为______________(n为大于或等于3的整数）。3.周角的度数为_______________。（n-2）×180°nn0180)2(360°看一看，这些图形拼成的平面图案的共同特征是什么？不重叠，无缝隙看一看，这些图案是由哪些熟悉的图形拼成的？我们把这种覆盖平面区域就叫做平面镶嵌例如:用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全面覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。观察以下图形并思考在镶嵌时如何做到既无缝隙又不重叠?在一个顶点处的几个内角恰巧拼成一个周角。小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形,正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以供他选择?合作&学习☞若用一种正多边形进行镶嵌，下列哪些正多边形可以镶嵌？①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；为什么呢？使用给定的某种正多边形，当围绕一个点拼在一起的几个正多边形的内角和为360°时即可镶嵌。即这个正多边形的一个内角的度数能被360°整除。1、正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°2、正方形的平面镶嵌90°3、正六边形的平面镶嵌BEFCAD4.为什么正五边形不能进行平面镶嵌？因为正五边形的内角不能组成360°的角，而正三角形的内角能组成360°的角。4.为什么正五边形不能进行平面镶嵌？仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗?假设正多边形的边数为n,由K个正多边形恰好可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的K个正多边形的K个内角和应等于而正n边形的每个内角的度数为,所以,可得方程整理,得K(n-2)=2n,所以因为K,n为正整数,故n只能等于3、4、6.nn180)2(360180)2(nnK224nK360°,这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有三种选择:正三角形,正方形和正六边形.6600900108012004334能镶嵌能镶嵌不能镶嵌有空隙能镶嵌60×6=3600090×4=36000108°×3360°108×4＞36000120×3=36000不能镶嵌有重叠实验结果正n边形拼图每个内角度数多边形个数结果n=3n=4n=5n=6当正多边形的一个内角度数的整数倍是360°时,这种正多边形就能镶嵌.1、三角形可以作平面镶嵌吗?如果能，三角形如何镶嵌呢?如图,四边形ABCD中,因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°,所以用四边形也可以作平面镶嵌ABDC2、四边形呢?那么四边形如何镶嵌呢?请看!任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌,但若想实现连续铺设，还应将相等的边重合在一起。下列正多边形组合，能够镶嵌的是：（1）正三角形与正六边形；（2）正三角形与正方形；（3）正六边形与正八边形；设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角。360903602mmnn①②注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果（1）正三角形与正方形的平面镶嵌图案（Ⅰ）设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角。4260120360,12mmmnnn（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌图案（Ⅱ）60°60°（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。正十二边形与正三角形的平面镶嵌正八边形与正方形的平面镶嵌正十边形与正五边形的平面镶嵌正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌1、镶嵌的要求：无缝隙，不重叠2、多边形能否镶嵌的条件：每个顶点处几个角的和为360°请你分别按下列要求设计一个多边形的镶嵌图案:（1）只用一种正多边形；（2）同时用两种正多边形；（3）用一种非正多边形。