多重积分8(4)

1重积分在几何上的应用重积分在物理上的应用小结思考题作业第四节重积分的应用第八章重积分2一、重积分在几何上的应用1.平面区域的面积设有平面区域D,DDd2.体积设曲面方程为.),(,0),(Dyxyxfz则D上的曲顶柱体体积为:DyxfVd),(则其面积为:重积分的应用占有空间有界域的立体的体积为:zyxVddd3d(1)设曲面S的方程为：),(yxfz,dD,d),(yx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS,d边界为准线以如图,),(yxMAdsxyzo3.曲面的面积;dSS为截曲面,dA为截切平面SAdd上具有在Dyxf),(),(),(yxfyxfyx和连续偏导数设小区域则有母线平行于z轴的小柱面,在xOy面上的投影区域为D,重积分的应用Sd4面上的投影在为xOyAddd2211cosyxffd1d22yxffA),(yxMxyzso曲面S的面积元素cosdADyxffAd122曲面S的面积公式dAd重积分的应用Sd)1,,(yxffnn5(3)设曲面的方程为),(xzhy曲面面积公式zdxyyAxzd122曲面面积公式(2)设曲面的方程为),(zygx曲面面积公式zyxxAzydd122(1)设曲面S的方程为),(yxfzyxzzAyxdd122xyDyzDzxD重积分的应用6xyOaa2解)0,(yx求球面,2222azyx含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.例由对称性知,41AA第一挂限图形axyxD221:曲面方程222yxazaaaD1axyx22重积分的应用xyzO222yxaa于是,221yxzz7xyOaa2D11dd4222Dyxyxaa2242aa极坐标d1d422aayxzzADyxdd1412202cosa0重积分的应用222yxaa221yxzzcosa8例222ayx222azx所截的部分的面积.作出图形在第一卦限的A1:22xaz,22xaxzx0yz22xaa则222azx222ayx解部分221yxzz被圆柱面计算圆柱面(如图).222ayxa重积分的应用xyzOxyO9221yxzz在第一挂限部分面积为yxxaaADdd12212a整个面积2188aAA222ayx22xaaa重积分的应用xyO222azx222ayxxyzOyxaxaxaad1d22022010重积分的应用下面讨论比显示方程更一般的空间曲面的参数方程。设空间曲面的参数方程为.),(),,(),,(),,(Dvuvuzzvuyyvuxx则曲面的面积A可以用下式计算dudvvuxzvuzyvuyxAD222),(),(),(),(),(),(11重积分的应用例求半径为a的球的表面积。解取球面方程为,cos,sinsin,cossinazayax其中，.0,20因为sincoscossincoscossinsin),(),(aaaayxcossin2a),(),(zycossin22a),(),(xzsinsin22a12重积分的应用所以，222),(),(),(),(),(),(xzzyyxsin2a于是有0220sindadA.42a13重积分的应用二、重积分在物理上的应用质心、转动惯量、引力1、质心Oxy),(yxPxyyx如图，一个位于点(x,y)，质量为m的质点P关于x轴和y轴的静力矩分别为,myMx.mxMy当单个质点扩充为质点系时，质点系的静力矩等于质点系中各个质点静力矩的和。14MMyxMMxy质点系的总质量对x轴的静矩该质点系的质心的坐标为它们分别位于,),(,),(),,(2211处nnyxyxyx质量分别为.,,,21nmmmniiniiimxm11niiniiimym11重积分的应用对y轴的静矩设xOy平面上有n个质点,niiiyxmM1niiixymM1则该质点系关于x轴和y轴的静力矩分别为15由微元法来确定:,d),(yx,d),(DyyxxM所以,DxyxyMd),(,d),(dyxxMy设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为),,(yx假定在D上连续,平面薄片的质心),(yx薄片中相应于d的部分的质量近似等于这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上,于是可写出静矩元素:重积分的应用(1)平面薄片的质心d),(dyxyMx16注,d1DxAxDyAyd1DAd其中所以,薄片的质心坐标为当薄片是均匀的,质心称为,d),(d),(DDyyxyxxMMxDDxyxyxyMMyd),(d),(重积分的应用形心.平面的面积.,d),(DyyxxMDxyxyMd),(17设物体占有空间域,有连续密度函数vzyxvzyxxxd),,(d),,(则其质心坐标为常数时,则得形心坐标,dVvxxvVd物体的体积.重积分的应用(2)空间物体的质心yyzz当物体是均匀的,,dVvyyVvzzd其中M),,,(zyx),,(zyx即当18b例求位于两圆,cosacosb)0(ba之间的均匀薄片的质心.axyO,0yDxAxd1.)(222ababab解薄片关于x轴对称，,d1DxAxDyAyd1所以22222ayaxcosasincosyx2222ab20coscosdcosd2ba质心).0,)(2(22ababab重积分的应用质心必在x轴上，19重积分的应用Oxy),(yxPxyyx如图，一个位于点(x,y)，质量为m的质点P绕x轴、y轴和原点O的转动惯量分别为当单个质点扩充为质点系时，质点系的转动惯量等于质点系中各个质点转动惯量的和。2、转动惯量,2myIx,2mxIy.22myxIO22yx20它们分别位于,),(,),(),,(2211处nnyxyxyx质量分别为.,,,21nmmm重积分的应用设xOy平面上有n个质点,则该质点系绕x轴、y轴和的转动惯量分别为原点O,12niiixmyI,12niiiymxI.122niiiiOmyxI21,d),(yx,d),(d2yxyIx设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为),,(yx假定在D上连续,求平面薄片的转动惯量。),(yx薄片中相应于d的部分的质量近似等于这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上,于是可写出转动惯量元素:重积分的应用(1)平面薄片的转动惯量,d),(d2yyxxI,d),(d22OyxyxI22重积分的应用DoyxId),(D2y2x)(22yxyxO所以，该平面薄片绕x轴、y轴和原点O的转动惯量分别为,d),(d2yxyIx,d),(d2yyxxI,d),(d22OyxyxI23设物体占有空间区域,),,,(zyxvzyxIxd),,()(22zy重积分的应用(2)空间物体的转动惯量则转动惯量为OxyzvzyxIyd),,()(22zxvzyxIzd),,()(22yxvzyxId),,(0)(222zyx有连续的密度函数24abyxxIDydd2aaxbyxx0)1(02ddba3121)1(axby重积分的应用例解设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别求这三角形对任一直角边的转动惯量.为a、b,设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上(如图)yxO对y轴的转动惯量为yxyIDxdd2.1213ab对x轴的转动惯量为DxyxyId),(225重积分的应用一个位于点(x,y,z)，质量为m的质点P，对另一个位于点(x0,y0,z0)、单位质量的质点P0的引力为3、引力3kmFrr0003,,zzyyxxrkm其中，k是引力系数。0rPP||rr000,,zzyyxx26它们分别位于,),,(,),,(),,,(222111处nnnzyxzyxzyx质量分别为.,,,21nmmm重积分的应用设xOy平面上有n个质点,则该质点系对位于P0处的单位质量质点的引力为niiiiniirrkmFF131.,,10003niiiiiizzyyxxrkm27重积分的应用(1)空间物体对质点的引力设物体占有空间区域,物体对于物体外一点利用元素法,xFdyFd有连续分布的密度引力元素在三坐标轴上的分量分别空间一物体对于物体外一点),,(0000zyxP处的单位质量的质点的引力.函数),,(0000zyxP的单位质量的质点的引力为30)d)(,,(rvxxzyxk30)d)(,,(rvyyzyxk30)d)(,,(rvzzzyxkzFd28vryyzyxkFyd)(),,(30重积分的应用30)d)(,,(drvxxzyxkFx30)d)(,,(drvyyzyxkFy30)d)(,,(drvzzzyxkFz在上分别积分,得vrxxzyxkFxd))(,,(30vrzzzyxkFzd)(),,(3029重积分的应用(2)平面薄片对质点的引力若物体为一平面薄片D,且位于xOy面上，则它对点),,(0000zyxP处单位质量质点引力分量为,)()())(,(2/32020200dzyyxxxxyxkFDx,)()())(,(2/32020200dzyyxxyyyxkFDy.)()())(,(2/32020200dzyyxxzyxkFDz30Foyzx重积分的应用0yxFF设有面密度为常量,半径为R的均匀圆的薄片求它对位于点由对称性知处的单位质量质点的引力.例解),0,0(0aMd)(1d0222023Raak.11222aaRka引力为d)(123222Dayxakd)(),(23222DzayxyxakF极坐标).,0,0(zFFd)(),(23222DzayxyxakFd)(),(23222DxayxxyxkFd)(),(23222DyayxyyxkF31几何应用平面薄片、空间物体的质心平面薄片、空间物体对质点的引力平面的面积物理应用三、小结重积分的应用曲面的面积体积平面薄片、空间物体的转动惯量32作业习题8-4(111页)1.(1)(4)2.(1)4.(2)5.7.8.重积分的应用