《余弦定理》课件

正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题:（1）已知两角和任一边。学科网（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin::复习回顾﹚Abccbacos2222﹚探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.学科网cABbCAaCB,,设bac向量法)()(babaccc2余弦定理已知三边,怎样求三个角呢？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：CBAbac思考1：余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？CBAbac归纳利用余弦定理，可以解决：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。（3）判断三角形的形状。一、已知三角形的两边及夹角求解三角形1ABC5,53,30,bcAaBC例、在中，已知求边和角、的值Abccbacos2222解：由余弦定理知，5,a225532553cos3025CABabc30BAC180120ABCBAbac15sin12sinB52bAa得由正弦定理BbAasinsin32ABCsinC,sincos0,52,5,.CCabc例：在中，已知且求边长52CBA解：0cos0cossin0sinCCCC且54sin1cos2CC则Cabbaccos2222由余弦定理451629545222542c53c222222357122352bcaAbccos,120.A二、已知三角形的三边解三角形27,3,5,sin.abcCABC例、在中，已知求最大角和ACB.acb,解：故最大角为120.35sin532sin.714cACasinsinacAC由正弦定理得.__________,10,13,13.1度数为的最大角的则中，若在ABCcbaABC120）为（则中，已知在AcbcbaABC,.2222323.32.6.3.或DCBAC练习由推论我们能判断三角形的形状吗?bcacbA2cos222推论：CBAbac思考2：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb判断三角形的形状例3、在△ABC中，试确定此三角形的形状．aAbBcoscos,解析：解法1：由a·cosA＝b·cosB以及余弦定理得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2＝b2或c2＝a2＋b2，∴a＝b或c2＝a2＋b2.当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得：2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．||21960ABCDABCDCDACBADDE例4，如图，梯形中，，，，,求梯形的高219EDCBA23360sin530152120cos21201922222ADDEADERtADADADADDCADDCADACADCACDCADC中，高在舍或，，中，在解：三、已知两边及一角解三角形ABC7,4,7.2bcBCADa例5：在中，已知边上中线长为，求边长CBADxx72c=4b=7解：xaxBDCD2，则设ACBACDACBACDcoscos中，和在xxxx27247272277222222即9,29ax即ABDCACADBCDBABC，求，，上一点，是，中，练习：在3754545753DCBA265sinsin74571435sin1411cos375ABCABBBACABCCCDCACADADC由正弦定理可得，中，在则由余弦定理可得，，中，在解法一：265sinsin54556012021cos375ABADBABBBADABDADBADCADCDCACADADC由正弦定理可得，中，在，即则由余弦定理可得，，中，在解法二：小结:222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：推论: