上海交通大学816自控考研考前辅导班讲义6-4 频域：奈氏 判据

1《自动控制原理》——频域稳定性分析（6－4）（Nyquist稳定性判据）上海交通大学自动化系田作华[e-mail]2基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。一、预备知识——幅角定理由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设辅助函数6-4控制系统稳定性分析---Nyquist稳定性判据)()()(pszssF1111jn1jin1iΠΠsFsFpszspszsnjjniinjjnii3令：s从开始沿任一闭合路径Γs（不经过F(s)的零点和极点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：零点(-Zi)极点(-Pj)1)–Zi在Γs外。2)–Pj在Γs外。结论：相角无变化1)–Zi在Γs内，。(顺时针)2)–Pj在Γs内，。(逆时针)结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时针方向旋转一圈时，F(s)相角有变化（顺时针）：•1s0izs2izs2jps0jps1z2z0sImRe1s)(2)(PZsF4幅角定理：F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z–P）圈。即N=Z-P（或逆时针绕原点N=P-Z圈）其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时针为正，顺时针为负。5三、奈魁斯特稳定性判据1．奈氏路径顺时针方向包围整个s右半面。由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。jj1j1j()Fs的极点Rj0j0js平面jjjjjs0062.奈氏判据设：——闭环系统特征多项式显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点。(1)1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差：N=P-Z当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。sHsGSF17（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据因1+G(s)H(s)与G(s)H(s)相差1，所以系统稳定性可表述为：奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。a.若P=0，且N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系统稳定；b.若P≠0，且N=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取：Z=PNc.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上。8例:一系统开环传递函数为：试判别系统的稳定性。解：本系统的开环频率特性当变化时，系统的幅相曲线如图所示。因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即N=1。根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数Z=P-N=1-1=0所以系统稳定。0)a(1)()(sasHsG1)()(jajHjGjjjj00210ReIm9a.当s=0是开环极点时，奈氏路径：s=-j0→+j0时，以原点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。令,ε→0当从s=-j0转到+j0时，θ从-90°变到+90°（Ⅰ型系统）所以，从变到。00j0jImRejesθjjθn1jjθjjθm1ijθiese)e(K1)e(T)(1)e(τKG(s)H(s)jθe)()(jHjG90)90(10结论:当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过。b．s→∞的奈氏曲线令:因为R→∞，则有所以，对n-m0的系统，ε就趋向于零。从-（n-m）90°变到+（n-m）90°。jsRem)θ-j(nn1jjθjm1iiθj1ese)p(Re)(ReKG(s)H(s)θjzR)()(jHjG11结论:当s沿奈氏曲线从+j∞到-j∞时，对nm的系统，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（n-m）π。12例试判断系统的稳定性：解先作+j0到+j∞时的G(jω)H(jω)曲线。再根据对称性，作出-j0到-j∞时的G(jω)H(jω)曲线。0)k()1()1()()(1sssKsHsG)1()1()()(1jjjKjHjGImRe2K101001K奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。Z=PNP——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；N——G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的圈数；Z——闭环系统位于s右半平面的极点数。13题中，即当s从-j0转到+j0时，G(jω)H(jω)曲线以半径为无穷大，顺时针转过π角（虚线）。并可求得，=1时，G(j)H(j)与实轴交。从图可见，G(s)H(s)的奈氏曲线顺时针绕(-1,j0)点一圈，N=-1，又因为P=0，所以Z=P-N=1，说明为不稳定系统，有一个闭环极点在s的右半平面。11KImRe2K101001K14例分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中，T5T1T2、T3和T4解：若某K值下GH曲线如图，因N=0，且P=0，系统稳定。1.K增大，使（-1，j0）位于c、d间，曲线顺时针包围（-1，j0）两圈，系统不稳定。2.K减小，使（-1，j0）位于a、b之间，曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，系统仍不稳定。K再减小，使（-1，j0）点位于a点左边，那么闭环系统又稳定了。这样的系统称为条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。STSST1ST1ST11STKSHSG54321(1,0)jabcdImRe00[]GH153。一种简易的奈氏判据（1）正、负穿越的概念G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。所谓“穿越”是指轨迹穿过段。正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用表示。负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用表示。正穿越负穿越N0N),1(ImRe0(－1，j0)+ImRe0(－1，j0)_16(1,0)j0()()GjHjImRe－＋＋2＝N1＝N17若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。ImRe00_()()GjHj(1,0)jImRe0(1,0)j()()GjHj0＋18如果G(jω)H(jω)按逆时针方向铙(-1,j0)一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：当由0变化到时，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时Z=P-2N若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0：注意：这里对应的ω变化范围是。00P19例:某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N=,求得：Z=P-2N=2-2=0所以系统是稳定系统。.(1,0)jImRe00()()GjHj112NN2P20例:两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。解:(a):N=N+-N–=（0-1）=-1，且已知P=0，所以Z=P-2N=2系统不稳定。(b)：K1时，N=N+-N-=1-1/2=-1/2，且已知P=1，所以Z=P-2N=0，闭环系统稳定；K1时，N=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P=1，所以Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。ImRe00R0P1PImRe0R0K21奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。Z=PNP——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；N——G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数；Z——闭环系统位于s右半平面的极点数。闭环系统稳定的充要条件是：当由0变化到时，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。22四、伯德图上的奈氏判据极坐标图伯德图单位圆0db线（幅频特性图）单位圆以内区域0db线以下区域单位圆以外区域0db线以上区域负实轴-1800线（相频特性图）因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。ImRe0(1,0)j()()GjHj()L()dB00c23参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当由0变到时，在开环对数幅频特性的频段内，相频特性穿越的次数（正穿越与负穿越次数之差）为。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件是：在的频段内，相频特性在线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越线。0)(L)(NN2P0P0)(L)(24例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）N+-N-=1-2=-1不等于P/2（=1）所以，系统不稳定。)(L0)(2P25五、稳定裕量人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。一、相位裕量增益剪切频率：指开环频率特性G(jω)H(jω）的幅值等于1时的频率，即在控制系统的增益剪切频率ωc上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相移）量，称为系统的相位裕量，记作γ。c1)()(ccjHjG26270()L()dB090180正相位裕量0cg0gK正相位裕量1gK1B()GjImRe正增益裕量[]GH1相位裕量：当γ0时，相位裕量为正，系统稳定；＝0c180ωγ)(180c27相位裕量：当γ0时，相位裕量为负，系统不稳定。=1gKBImRe[]GH负相位裕量负增益裕量()Gj11负增益裕量负相位裕量27018090()L()0dB0c