上海交通大学历年概率统计试卷

（概率）第1页共7页上海交通大学概率论与数理统计试卷2004-01姓名:班级:学号:得分:一．判断题（10分，每题2分）1.在古典概型的随机试验中，0)(AP当且仅当A是不可能事件()2．连续型随机变量的密度函数)(xf与其分布函数)(xF相互唯一确定()3．若随机变量X与Y独立，且都服从1.0p的(0，1)分布，则YX()4．设X为离散型随机变量,且存在正数k使得0)(kXP，则X的数学期望)(XE未必存在()5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少()二．选择题（15分，每题3分）1.设每次试验成功的概率为)10(pp，重复进行试验直到第n次才取得)1(nrr次成功的概率为.(a)rnrrnppC)1(11；(b)rnrrnppC)1(；(c)1111)1(rnrrnppC；(d)rnrpp)1(.2.离散型随机变量X的分布函数为)(xF，则)(kxXP.(ａ))(1kkxXxP；(ｂ))()(11kkxFxF；(ｃ))(11kkxXxP；(ｄ))()(1kkxFxF.3.设随机变量X服从指数分布，则随机变量)2003,(maxXY的分布函数.(ａ)是连续函数；(ｂ)恰好有一个间断点；(ｃ)是阶梯函数；(ｄ)至少有两个间断点.（概率）第2页共7页4.设随机变量),(YX的方差,1)(,4)(YDXD相关系数,6.0XY则方差)23(YXD.(ａ)40；(ｂ)34；(ｃ)25.6；(ｄ)17.65.设),,,(21nXXX为总体)2,1(2N的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是.(ａ))(~/21ntnX；(ｂ))1,(~)1(4112nFXnii；(ｃ))1,0(~/21NnX；(ｄ))(~)1(41212nXnii.二.填空题（28分，每题4分）1.一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取一个,则第二次才取到正品的概率为2.设连续随机变量的密度函数为)(xf，则随机变量XeY3的概率密度函数为)(yfY3.设X为总体)4,3(~NX中抽取的样本(4321,,,XXXX)的均值,则)51(XP＝.4.设二维随机变量),(YX的联合密度函数为他其,0;10,,1),(xxyyxf则条件密度函数为,当时,)(xyfXY5.设)(~mtX,则随机变量2XY服从的分布为(需写出自由度)6.设某种保险丝熔化时间),(~2NX（单位：秒），取16n的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152SX，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为（概率）第3页共7页7.设X的分布律为X123P2)1(22)1(已知一个样本值)1,2,1(),,(321xxx，则参数的极大似然估计值为三.计算题（40分，每题8分）1.已知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为)(,的指数分布，试求YXZ23的密度函数)(zfZ.3．某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4.总体),(~2NX，),,,(21nXXX为总体X的一个样本.求常数k,使niiXXk1为的无偏估计量.5．（1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2NX（单位：kg）.已知8kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575xkg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg？（%5）（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2N.某日抽取5个样品，测得其纤度为:1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.问这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10作假设检验.（概率）第4页共7页四.证明题（7分）设随机变量ZYX,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(pB.试证明随机变量YX与Z相互独立.附表：标准正态分布数值表2分布数值表t分布数值表6103.0)28.0(488.9)4(205.01315.2)15(025.0t975.0)96.1(711.0)4(295.07531.1)15(05.0t9772.0)0.2(071.11)5(205.01199.2)16(025.0t9938.0)5.2(145.1)5(295.07459.1)16(05.0t概率统计试卷参考答案一.判断题（10分，每题2分）是非非非是.二.选择题（15分，每题3分）（ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三.填空题（28分，每题4分）1.1/22；2.000)])3/[ln()(1yyyfyfyY；3.0.9772；4.当10x时他其0)2/(1)(xyxxxyfXY；5.),1(mF6.上限为15.263.7.5/6.四.计算题（40分，每题8分）1.A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件.(2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(BAPBPBAPBPAP，(4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(APBAPBPABP(2分)2.其他00)(xexfxX其他00)(yeyfyY(1分)（概率）第5页共7页0z时，0)(zFZ，从而0)(zfZ；(1分)0z时，dxxzfxfzfYXZ]2/)3[()()(21(2分))(232/3/3/0]2/)[(21zzzxzxeedxe(2分)所以0,00),(23)(2/3/zzeezfzzZ[0,00),(32)(3/2/zzeezfzzZ](2分)3.设iX为第i周的销售量,52,,2,1iiX)1(~P(1分)则一年的销售量为521iiXY，52)(YE,52)(YD.(2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(YPYP(4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(.(1分)4.注意到niiXXnXXnXX)1(121)2(1)(,0)(2分nnXXDXXEii)1(1,0~2分nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|||)(|dzennznnz221201212)3(122分nnniiniiXXEkXXkE11||||nnkn122令（概率）第6页共7页5.(1)要检验的假设为570:,570:10HH(1分)检验用的统计量)1,0(~/0NnXU，拒绝域为96.1)1(025.02znzU.(2分)96.106.21065.010/85702.5750U，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H，即不能认为平均折断力为570kg.[96.1632.0102.010/92.5695710U,落在拒绝域外，故接受原假设0H，即可以认为平均折断力为571kg.](1分)(2)要检验的假设为221220048.0:,048.0:HH(1分)[22122079.0:,79.0:HH]检验用的统计量)1(~)(2202512nXXii，拒绝域为488.9)4()1(205.022n或711.0)4()1(295.02122n(2分)41.1x[49.1x]488.9739.150023.0/0362.020,落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.020,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H，即认为该天的纤度的总体方差不正常.(1分)五、证明题(7分)由题设知X01YX012PpqP2qpq22p(2分))0()0()0,0(3ZPYXPqZYXP；）分（2)1(2nnk（概率）第7页共7页)1()0()1,0(2ZPYXPpqZYXP；)0()1(2)0,1(2ZPYXPpqZYXP；)1()1(2)1,1(2ZPYXPpqZYXP；)0()2()0,2(2ZPYXPpqZYXP；)1()2()1,2(3ZPYXPpZYXP.所以YX与Z相互独立.(5分)（概率）第8页共7页g一是非题（请填写是或非。共6分，每题1分）1．若随机事件A与B独立，A与C独立，则A与BC必独立。（）2．若概率(2008)0.109PX，则X不可能是连续型随机变量。（）3．等边三角形域上的二维均匀分布的边缘分布不是均匀分布。（）4．若()1PXa，则随机变量X的数学期望()EX一定不小于数a。（）5．总体均值的置信区间上限比样本观测值),,,(21nxxx中的任一ix都要大。（）6．假设检验中犯第二类错误的概率是指)(11为伪接受HHP。（）二填空题（共15分，每题3分）7．设随机变量X服从（1，3）上的均匀分布，则随机因变量lnYX的概率密度函数为()Yfy。8．设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数3.0p的)10(分布，则函数YXZ,max的分布律为。9．对某一目标连续射击直至命中3次为止。设每次射击的命中率为0.6，消耗的子弹数为X，则()______EX，()______DX。10．设2)(,)(XDXE,由切比雪夫不等式知,)10(XP的取值区间为与之间。上海交通大学试卷（A卷）（2007至2008学年第1学期）班级号___________________学号______________姓名课程名称概率论与数理统计（A类）成绩（概率）第9页共7页11．设（19,,XX）是来自正态分布)1,0(N的简单随机样本，369222147()()()iiiiiiYXXX。当k＝时，kY服从2分布，()____,EY()_____DY。三选择题（共15分，每题3分）12．设随机事件,AB满足()().PBPBA，则下面结论正确的是。（ａ）()()()PABPAPB；（ｂ）()()()PABPAPB；（ｃ）(|)()PBAPA；（ｄ）(|)()PABPA。13．设~(,)XNab，分布函数为()Fx，则对任意实数c，有。（ａ）()()0FacFac；（ｂ）()()0FcaFca；（ｃ）()()1FacFac；（ｄ）()()1FcaFca。14．设随机变量X与Y的二阶矩都存在且独立同分布，记XY，,XY则与。（ａ）相互不独立；（ｂ）相互独立；（ｃ）相关系数不为零；（ｄ）相关系数为零。15．设,,,1nXX为独立随机变量序列，),2,1(iXi的密度函数是(),ixXfxe0;()0,0(0)iXxfxx，()x为标准正态分布函数，则下列选项中正确的是。（ａ）1lim{}niinXnPxn()x；（ｂ）12/li