24.4解直角三角形

义务教育教科书（华师版）九年级数学上册第24章解直角三角形30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana（1）在直角三角形中，除直角外共有几个元素？（2）如图，在Rt△ABC中∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ABCcba直角三角形中元素间的三种关系：(1)两锐角关系：(2)三边关系：(3)边与角关系：ABCcbaa2＋b2＝c2（勾股定理）；ac∠A＋∠B＝90ºsinA＝bccosA＝tanA＝ab1、在Rt△ABC中,∠C=90°：（1）已知a=4，c=8，求b,∠A,∠B（2）已知c=20，∠A=60°，求∠B,a，b．ABCcab定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.牛刀小试已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，a=1，解这个直角三角形。已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=1，解这个直角三角形。变式1：变式2：∟ABCbca已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=，解这个直角三角形。2牛刀小试已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=1，解这个直角三角形。已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=2，解这个直角三角形。变式4：变式5：ABCbca∟变式3：已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=，解这个直角三角形。3问题：1、解直角三角形需要什么条件？2、解直角三角形的条件可分为哪几类？事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．解直角三角形例1：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,大树在512树顶落在离树根12米处．折断之前高多少？图25.3.2例2：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）例3.一艘船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离．（画出图形后计算，参考数据：3≈1.73，精确到0.1海里）例4.如图，从A地到B地的公路需经过C地，AC=10千米，∠ABC＝45°，∠CAB＝38°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路。求改直后的公路AB的长（精确到1千米）（参考数据sin38°=0.62，cos38°=0.79，tan38°=0.78）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a=3,b=3;练习ABCb=3a=3c（2）c=8，∠A=60°（3）a=5，c=10.33?怎样解答2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，b=2、c=4.求:(1)a、∠B=ABC3怎样思考？1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形。43ADDABC643怎样思考？2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积。ABCD260°12、解直角三角形的条件可分为两大类：①、已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一斜边）②、已知两边（一直角边，一斜边或者两条直角边）1、解直角三角形除直角外，至少要知道两个元素（这两个元素中至少有一条边）•解直角三角形的一般步骤：(1)画示意图；(2)分析已知量与待求量的关系,选择适当的边角关系；(3)求解；“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）”“宁乘勿除，取原（原始数据）避中（中间数据）”（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：例1在探究一、已知两条边解直角三角形：ABCRt中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=√15，b=5，求这个三角形的其他元素。由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。探究二、已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）解直角三角形：例2，在ABCRt中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°求这个三角形的其他元素（边长精确到1）。?怎样解答2、如图，在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2,求AB.ACBD3、如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(结果可保留根号).怎样思考？CADB3、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长．怎样思考？5.如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.ABC30°地面太阳光线60°30AB的长D6、你能根据图上信息，提出一个用锐角三角函数解决的实际问题吗？试一试400米PBCA30°45°