24.5三角形的内切圆

1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？①.圆心与半径2、叙述角平分线的性质与判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心或②.不在同一直线上的三点ABCO如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABC你能帮助这位木工师傅裁出来吗？探索与思考ABCABCABCABC请你猜测第一种情况第二种情况第三种情况第四种情况请问：那种情况的裁剪可以使裁下的圆的面积最大？ABC思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2ABC探究：三角形内切圆的作法作法：ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。MND你能画出一个三角形的内切圆吗?定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质：CBADFEOr2.三角形的内心在三角形的角平分线上；例题赏析如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心,求∠BIC的度数老师提示：若点I是外心呢？△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9例题赏析已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4，BD=9，CE=51.△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，则AD=______,BE=_______,CF=______.(第1题)1厘米4厘米5厘米已知△ABC各边长分别为a、b、c，内切圆的半径为r，求这个三角形的面积.ABCODEFabc解：如图，连接OA、OB、OC再分别作三边的高OD、OE、OF垂足分别为D、E、F，则有：S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOBrcbacrbrar)(21212121==r例题赏析在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.BAC解：如图：由勾股定理可得：O5432222BCACAB∴外接圆半径R=2.5由我们推导的三角形的面积公式可知：rACBCABSABC)(21rBCACABBCAC)(2121r)345(214321解得：r=1r例题赏析·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF21212121＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝2Sa＋b＋c三角形的内切圆的有关计算·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。比一比看谁做得快.ABC直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm.则其内切圆的半径为______。O2cm在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.BAC解：如图：由勾股定理可得：O5432222BCACAB∴外接圆半径R=2.5由我们推导的三角形的面积公式可知：rACBCABSABC)(21rBCACABBCAC)(2121r)345(214321解得：r=1r小结：三角形的内切圆（1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心（2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点（3）三角形内心到三边的距离相等（4）三角形面积（C为三角形周长，r为内切圆半径）rCS212cbar(5)直角三角形的内切圆的半径为r与各边长a、b、c的关系是2、菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（）（A）（B）（C）（D）332232225325ABCDEFO3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（）（A）70°（B）110°（C）120°（D）130°（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）BB4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）（A）1∶∶（B）1∶2∶（C）1∶∶2（D）1∶2∶323335、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四边形DCCABRrOD6.已知：△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB相切于点D、E、F，∠DIE=120°,∠EIF=130°.求△ABC的三个内角的度数.ABC●IDEF7.如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DBDECBA12345DE²=AD·DF.F