线段垂直平分线的性质和判定用

线段垂直平分线的性质和判定一、教学目标1.了解轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分的性质；2.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上的定理；3.初步理解线段的垂直平分线的集合定义，有意识渗透数学的研究方法，渗透集合思想，促进学生数学认知的科学建构4.从运动变化的角度加深对平面图形的认识，发展几何直觉，增进对数学的理解。二、重点、难点1.重点：线段垂直平分线定理、逆定理.2.难点：线段垂直平分线定理、逆定理的正确理解和应用.3.难点的突破方法：利用多媒体手段直观引入，引导学生自主研究发现规律，加深对定理的理解。通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它们到点B的距离分别相等。由此我们可以得出：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等(垂直平分线的性质)∵PC⊥AB,AC=CB∴PA=PBlABPC老师希望同学们证明这个命题!已知：PC⊥AB,AC=CBlABPC求证：PA=PB在△ACP和△BCP中，AC=CB（已知）∠ACP=∠BCP（已证）PC=PC（公共边）∴△ACP≌△BCP(SAS)∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）证明：∵PC⊥AB∴∠ACP=∠BCP=90º提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.注意：文字叙述题要根据题意画出图形写出已知求证∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上∴PA=PB数学表达：∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上∴PA=PBABPMNC也可以说：∵P是线段AB垂直平分线上的点，∴PA=PB线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等还可以说：依据是：以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得到PA=PB。书写格式如下：反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？通过探究可以得到：（垂直平分线的判定）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。lABPC∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上书写格式：同学们能证明这个命题吗？已知：PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上lABPC证明：作PC⊥AB,垂足为C∴∠ACP=∠BCP=90在Rt△ACP和Rt△BCP中PAPBPCPC∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL)∴AC=BC∴点P在线段AB的垂直平分线上注意：PA=PB只能说明点P在线段AB的垂直平分线上，不能说明直线L是线段AB的垂直平分线。在线段AB垂直平分线l上的点与A、B距离都相等；反过来，与两点A、B的距离相等的点都在l上,所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合lABPCD∵PA=PB,DA=DB∴PD⊥AB,AC=CB注意：由“两点确定一条直线”可知，两点到同一条线段两个端点的距离相等，那么经过这两点的直线才是这条线段的垂直平分线。书写格式：已知线段AB（1）若CA=CB，问：过C点的直线是不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出反例.DABC（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？（2）过C和D两点的直线是线段AB的垂直平分线。因为点C、点D到线段AB的两端点距离相等，它们一定都在线段AB的垂直平分线上，由“两点确定一条直线”可知过C和D两点的直线必是线段AB的垂直平分线答：（1）过C点的直线不一定是线段AB的垂直平分线，反例：如图，CA=CB，但直线CD不是线段AB的垂直平分线.DABC已知:如图,AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。∵AC=AD∴点A在CD的垂直平分线上（）ODCBA证明:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上同理，∵BC=BD∴点B在CD的垂直平分线上∴AB垂直平分CD（两点确定一条直线）尺规作图做一做1已知:线段AB,如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:用尺规作线段的垂直平分线.1、分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.ABCD2、作直线CD.3、则直线CD就是线段AB的垂直平分线.请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.老师提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.挑战自我随堂练习1驶向胜利的彼岸如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=0.老师期望:你能说出填空结果的根据.EDABC760梦想成真试一试21.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过点P.P●l1.已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P.证明：∵△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P∴PA=PB，PB=PC∴PA=PB=PCPABC求证：PA=PB=PC解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线∴EB=EA∴△AEC的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=4+5=9EDBAC如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长小结：1.了解轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分的性质；2.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上的定理；3.初步理解线段的垂直平分线的集合定义，会用线段的垂直平分线定理进行简单的证明BYEBYE!