采样控制系统的稳定性分析

§8.6采样控制系统的稳定性分析1、自动控制原理：是关于自动控制系统建模、分析与设计的一套完整的理论。相关知识及上次课内容回顾：稳：指控制系统的稳定性。快：指控制系统的快速性。准：指控制系统的准确性。2、分析控制系统的性能指标：稳、快、准。前面几次课中主要是针对采样控制系统的数学模型进行了讨论。差分方程开环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数)(zG建模)(z稳定的概念复习如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远，则称系统是不稳定的或不具有稳定性。稳定系统不稳定系统几点注意：1、稳定性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件。2、稳定性是控制系统的一种固有特性，只取决与系统的结构参数，与系统的输入无关。线性连续系统稳定判据复习劳斯判据赫尔维茨判据根轨迹法Nyquist稳定判据对数频率稳定判据§8.6采样控制系统的稳定性分析8.6.1采样系统的稳定条件8.6.2劳斯稳定判据8.6.3朱利稳定判据（以大家自学为主）8.6.4采样周期与开环增益对稳定性的影响§8.6采样控制系统的稳定性分析8.6.1采样系统的稳定条件问题的提出！在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。sTzsze,关系TTTσzj)j(eeeTθrT:e:幅角半径所以代入比较一．z平面与s平面的映射关系sTzze号变换的定义时，引入符在引入j)(ss：直角坐标je)(rzz：极坐标s平面z平面几种情况讨论（1）s平面的虚轴，z平面，即。~00σ01θr1z000:为常数1r1r1r0:为常数r左半平面虚轴右半平面左向右移单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大（2）TθrT:e:幅角半径可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。图8-21：线性采样系统结构图二、线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统如图8-21所示。其特征方程为01）（）（zGHzD显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn即是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统稳定充要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的。例1、一个采样系统的闭环脉冲传递函数为：试说明系统的稳定性。)5.04.0)(5.04.0)(5.0)(1.0()16.0)(6.0()()()(jzjzzzzzzRzCz。可见，该系统是稳定的为：对应的四个特征根分别：解：系统的特征方程为5.04.0,5.0,1.00)5.04.0)(5.04.0)(5.0)(1.0(4,321jzzzjzjzzz问题的提出09288632345678zzzzzzz用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。8.6.2劳斯稳定判据对于线性连续系统，可以直接应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。根据复变函数双线性变换公式，令11wwz11zzw或式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即jvuwjyxz222222)1(2)1(111yxyjyxyxjyxjyxw当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：122yx0)1(12222yxyxu左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图8-22。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。图8-22：Z平面和W平面的对应关系离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有根严格位于左半W平面。例2设闭环离散系统如图8-23所示，其中采样周期T=0.1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。图8-23：例2闭环系统图解：求出G(s)的z变换1)1.01()(skskssksG368.0368.1632.0368.01)(2zzkzzkzzkzzG闭环系统脉冲传递函数为)(1)()(zGzGz故闭环系统特征方程为0368.0)368.1632.0()(12zkzzG11wwz令代入上式，得0368.0)11)(368.1632.0()11(2wwkww列出劳斯表0632.0736.20264.1632.0736.2632.0012kwwkkw从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k0，2.736-0.632k0，即k4.33。化简后，得W域特征方程0)632.0736.2(264.1632.02kwkw8.6.3朱利稳定判据(以大家自学为主)朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统的稳定性。8.6.4采样周期与开环增益对稳定性的影响稳定性是控制系统的一种固有特性，只取决与系统的结构参数即闭环传递函数，与系统的输入无关。影响采样系统稳定性的因素有哪些？1、开环增益K;2、系统的零极点分布；3、纯滞后环节；4、采样周期T的取值。例3设有零阶保持器的离散系统如图8-24所示，试求：（1）当采样周期T分别为1s，0.5s时，系统的临界开环增益Kc。（2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4s时，系统的输出响应c(kT)。图8-24例3离散系统方框图))(1()1()1()1()(1)(SSk12TezztTeTezTTekZzzG0)368.0264.0()368.1368.0()(2kzkzzD0)104.0736.2()528.0264.1(632.0)(2kwkkwwD由劳斯判据KC=2.4当T＝0.5s秒时0)017.0214.3()18.0786.0(197.0)(2kwkkwwD解:(1)当T＝1秒时由劳斯判据KC=4.37讨论！)(1)()()()(zGzGzRzCz])1([)]1()1([)]1()1[(2TTTTTTTTeTeeKzeTeKzTeezTeK且由，可求得C(z)表达式。1)(zzzR取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反变换得到c(kT)，见图8-25。(2)图8-25不同T时的响应讨论！§8.7采样系统的稳态误差引言8.7.1单位阶跃输入时的稳态误差8.7.2单位斜坡输入时的稳态误差8.7.3单位加速度输入时的稳态误差引言稳态误差是衡量系统控制精度的，在控制系统设计中作为稳态指标；实际控制系统由于本身结构和输入信号的不同，其稳态输出量不可能完全与输入量一致，也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点；系统存在摩擦间隙和死区等非线性因素，控制系统的稳态误差总是不可避免的；§8.7采样系统的稳态误差控制系统设计时应尽可能减小稳态误差；当稳态误差足够小可以忽略不计的时候，可以认为系统的稳态误差为零，这种系统称为无差系统，而稳态误差不为零的系统则称为有差系统；应当强调的是，只有当系统稳定时，分析系统的稳态误差才有意义！！采用比较法来分析与学习采样系统的稳态误差！！1、误差及稳态误差的定义系统的误差e(t)一般定义为被控量的希望值与实际值之差。即：误差e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值设单位反馈采样系统如图8-26所示：图8-26单位反馈采样系统)()()(tbtrte误差误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态分量——稳态误差记为ess。2、稳态误差计算方法线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广到采样系统中来。（哪几种方法？）设单位反馈采样系统如图8-26所示：图8-26单位反馈采样系统（1）应用Z变换的终值定理来计算)()(1)()()()()()(1)()(,)()()(zRzGzGzRzCzRzEzGzGzzRzzC)()()()(11zRzzRzGe利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差)(1)()1(lim)()1(lim)(lim)(11*zGzRzzEzteezzt上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式有关。（2）应用计算稳态误差系数的方法来计算稳态误差1.系统的类型（型别）与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于的关系，原线性连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。sTez8.7.1单位阶跃输入时的稳态误差2、连续系统中各种输入下各种类型系统的稳态误差（温故而知新！比较法！！）pK11vK1aK1输入形式稳态误差0型系统Ⅰ型系统Ⅱ型系统单位阶跃00单位斜坡∞0单位加速度∞∞3、单位阶跃输入时的稳态误差pzzzkzGzzzGzzEze1)](1[lim11)(1)1(lim)()1(lim)(111式中称为静态位置误差系数。)](1[lim1zGkzp对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞,从而e(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个或一个以上z=1的极点），则Kp=∞，从而e(∞)=0。因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。vzzzkTzGzTzTzzGzzEze)]()1[(lim)1()(1)1(lim)()1(lim)(1211式中称为静态速度误差系数。因为0型系统的kv=0，I型系统的kv为有限值，II型和II型以上系统的Kv=∞，所以有如下结论：0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。)]()1[(lim1zGzkzv8.7.2单位斜坡输入时的稳态误差8.7.3单位加速度输入时的稳态误差azzzkTzGzTzzzTzGzzEze22123211)]()1[(lim)1(2)1()(1)1(lim)()1(lim)(当然，上式也是系统的稳态位置误差，并称为加速度误差。式中称为静态加速度误差系数。)]()1[(lim21zGzkza由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常值，III型及III型以上系统的ka=∞,因此有如下结论成立：0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差，只有III型及I