勾股定理专题总结及训练

勾股定理专题总结与训练一、考点热点回顾1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.[来源:学_科_网Z_X_X_K]2、勾股定理的逆定理：一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的表示方法：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2(如图所示)，那么∠C＝90°[来源:学科网ZXXK]勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的．(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的．(2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题．(3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”．(4)二者关系可列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形[来源:学.科.网Z.X.X.K]题设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2结论a2＋b2＝c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法3．勾股数勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm为边长的三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理的应用[来源:Zxxk.Com]勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角．5、应用：①长方体盒子内最长的线段d222cba；②长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d是22)(cba、22)(bca、22)(acb中最小者的值。BAabcdAB①
圆柱体盒子内最长的线段d22)2(hr[来源:学科网ZXXK]②
圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d两条路线比较：其一、AC+BC即高+直径其二、圆柱表面展开后线段AB=22)(hr的长.二、经典例题题型一：直接考查勾股定理１、在中，．知，．求的长⑵已知，，求的长2、已知△ABC中，AB=40，AC=30，BC边上的高为24。求△ABC的面积。题型二：应用勾股定理建立方程1.如图中，，，，，求的长2.有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折BCAACB2rh痕是DE（如图3所示），求CD长。[来源:Z|xx|k.Com][来源:Z&xx&k.Com]题型三：勾股定理与实际问题1、一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？2、如图，Ａ、Ｂ是某铁路上两站，相距２５千米，Ｃ、Ｄ是铁路同侧的两个村庄，ＡＤ⊥ＡＢ，ＢＣ⊥ＡＢ，且ＡＤ＝１５千米，ＢＣ＝１０千米．为了市场发展的需要，现要在铁路上Ａ、Ｂ两站之间建一个土特产收购站Ｅ，使Ｃ、Ｄ两村的村民到收购站Ｅ的距离相等．问收购站Ｅ应建在距离Ａ站多少千米处？题型四：勾股定理求最短路径问题1.如图，一个边长为2cm的正方体小盒，一只小虫要沿盒的表面从A点爬到B点，请结合你学过的知识，求小虫行走最短路线多长？题型五：勾股定理中的证明题[来源:Zxxk.Com]1、在中，，为边上任一点，求证：[来源:学_科_网]2．已知，如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：DE2=BD2+CE2.[来源:Zxxk.Com]三、过手训练1、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A、2，3，4B、3，4，5C、6，8，10D、53，54，1[来源:学_科_网]2、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A、1倍B、2倍C、3倍D、4倍3、下列说法中正确的是（）A、已知cba,,是三角形的三边，则222cbaB、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C、在ABCRt中，90C，所以222cbaD、在ABCRt中，90B，所以222cba4、下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a0）；④32，42，52。其中可以构成直角三角形的边长有（）A、1组B、2组C、3组D、4组5、在ABCRt中，90ACB，AC＝5cm，BC＝12cm，其中斜边上的高为（）A、6cmB、8.5cmC、1360cmD、1330cm6、一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，90B，则木板的面积为（）A、60B、24C、30D、127、两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A、100cmB、50cmC、140cmD、80cm8、满足222cba的三个正整数称为。9、如图，直角三角形中未知边的长度x=。[来源:学科网ZXXK]10、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形。11、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）A.18cmB.20cmC.24cmD.25cm12、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16cm,那么它的面积为()A.48cm2B.36cm2C.24cm2D.12cm213、如图（1），带阴影的矩形面积是()平方厘米A．9B．24C．45D．5114、等腰三角形的一腰长为13,底边长[来源:学科网ZXXK]为10,则它的面积为（）A.65B.60C.120D.130四、课后习题1.如图，在RtABC中,90,,45BACACABDAE,且3BD,4CE,求：（1）△ACE和△ABD的面积之比；（2）△AED面积。2、如图，在△ABC中，AC=AB，D是BC上的一点，AD⊥AB，AD=9cm，BD=15cm，求AC的长．7、如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。DCBABACD