特征根方程求数列

特征方程求数列的通项江西省丰城市第二中学陈爱荣331100数列是高中数学的重要内容,也是高考的热点问题,但课本对数列的教学安排和高考的要求有一定的差距,从近年各省的高考试卷看,高考对数列的要求明显比课本要高,所以在复习中我们要在深刻理解等差和等比数列的基础上,对数列的性质各特点进行必要的挖掘,特别是某些递推关系求数列的通项这一类问题中有一些高等数学的背景,其中特征方程求数列的通项就是其中典型的内容之一一．可用特征方程解决递推数列的三类模型1．线性递推关系1,11nannpaqa（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）2．齐次二阶线性递推关系1221(1)(2)nnnanaanpaqa（其中p，q均为常数）3．分式递推关系1nnnpaqarah（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,）二.特征根方程及求法1．1,11nannpaqa的特征根方程为x=px+q，其根为,则1na=p(1na)2.1221(1)(2)nnnanaanpaqa的特征根方程为2xpxq设两实根为,(1).若时,则na=1112nncc,其中1c,2c是由1a,2a确定(2).若=时,则112()nnacnc其中1c,2c是由,1a2a确定3.1nnnpaqarah的特征根方程为pxqxrxh若方程的两根为,若1,a且,则11nnnnaaprapra即{nnaa}等比数列若1a且0ph,则1121nnrapha即{1na}等差数列三．例题分析例1．已知数列}{na满足：,4,N,23111anaann求.na解：作特征方程.23,231xxx则.211231a数列13na是以31为公比的等比数列.于是13na=（231a）.N,)31(21123,)31(211)31(111nannnn例2.已知数列{na}满足1a=3,2a=6,2na=41na-4na求na解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得==2故设na=(1c+2cn)12n,其中3=1c+2c,6=(1c+22c).2所以1c=3,2c=0,则na=3.12n例3.已知数列{na}满足1a=3,2a=6,2na=21na+3na求na解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得=3,=-1所以na=1c13n+2c1(1)n其中3=1c+2c,6=31c-2c得1c=94,2c=34所以na=14.13n+341(1)n例4.(2009江西)各项均为正数的数列{.na}1a=a,2a=b且对任意的m+n=p+q的正整数m,np,q都有(1)(1)(1)(1)pqmnnmnqaaaaaaaa当a=12,b=45求通项na解:由(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa得121121(1)(1)(1)(1)nnnnaaaaaaaa将14,25ab代入上式化简得11212nnnaaa考虑特征方程212xxx得特征根1x所以11111121112112113112nnnnnnnnaaaaaaaa所以数列11nnaa是以111113aa为首项,公比为13的等比数列故11111()()1333nnnnaa即3131nnna例5:已知数列na满足*1112,2,nnaanNa,求通项na.解:考虑特征方程12xx得特征根1x111111111111111(2)11nnnnnnaaaaaa所以数列11na是以1111a为首项,公差为1的等差数列故11nna即1nnan数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，而特征方程求数列的通项却为我们提供了一种简便、快捷的方法。参考文献：1.吴学伟《高考数学专题讲座》2.《特征方程法是求数列通项公式》中学数学网2009.1